Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, se for, resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: precisamos escrever a equação na forma
verificar se
, e em caso positivo encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
e igualamos a
. Assim
Logo a função potencial é
.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é constante arbitrária.