Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
(2 x y+x) d x+\left(x^{2}+y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(2xy + x)\,dx + (x^2 + y)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, identificamos
M(x,y) = 2xy + x \qquad\text{e}\qquad N(x,y) = x^2 + y
e vamos usar o critério de exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + x) = 2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para resolver uma equação exata, existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (2xy + x)\,dx = x^2 y + \tfrac{x^2}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^2 + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = x^2 + y.
Logo h'(y) = y, e integrando em y obtemos
h(y) = \int y\,dy = \tfrac{y^2}{2}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, a solução geral implícita vem de
\psi(x,y) = x^2 y + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 y + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} = C.

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