Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante
dado. Resolva as equações assim obtidas.
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, mas torna-se exata ao multiplicá-la pelo fator integrante
e depois resolver a equação exata obtida. Vamos usar o conceito de equação exata: se escrevemos
como
ela é exata quando
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
.
Então
Então
A equação fica
Passo 4
Verificamos agora a exatidão:
Como
, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
, com
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Impondo agora
temos
Integramos em
:
Passo 7
Portanto a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata é
onde
é constante arbitrária.