Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante μ(x, y) dado. Resolva as equações assim obtidas.
\left.x^{2} y^{3}+x\left(1+y^{2}\right) y^{\prime}=0\right) ; \quad μ(x, y)=1 / x y^{3}

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial
x^{2}y^{3} + x\bigl(1 + y^{2}\bigr)\,y' = 0
e pede para mostrar que ela não é exata, mas torna-se exata ao multiplicá-la pelo fator integrante
\mu(x,y)=\frac{1}{x\,y^{3}},
e depois resolver a equação exata obtida. Vamos usar o conceito de equação exata: se escrevemos
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0
como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
ela é exata quando \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^{2}y^{3}, \qquad N(x,y)=x\bigl(1+y^{2}\bigr).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2}\cdot 3y^{2} =3x^{2}y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =1+y^{2}.
Como 3x^{2}y^{2}\neq 1+y^{2} em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{x\,y^{3}}.
Então
\tilde M(x,y) = M\,\mu = \frac{x^{2}y^{3}}{x\,y^{3}} = x,
\tilde N(x,y) = N\,\mu = \frac{x(1+y^{2})}{x\,y^{3}} = \frac{1+y^{2}}{y^{3}}.
A equação fica
x + \frac{1+y^{2}}{y^{3}}\,y' = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,dx + \frac{1+y^{2}}{y^{3}}\,dy = 0.

Passo 4

Verificamos agora a exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) =0, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\Bigr) =0.
Como \partial \tilde M/\partial y = \partial \tilde N/\partial x, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \tilde M(x,y) = x.
Integrando em x, com y como constante:
\psi(x,y) = \int x\,dx + h(y) = \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Impondo agora
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \tilde N(x,y) = \frac{1+y^{2}}{y^{3}},
temos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = h'(y) = \frac{1+y^{2}}{y^{3}} = y^{-3} + y^{-1}.
Integramos em y:
h(y) = \int \bigl(y^{-3} + y^{-1}\bigr)\,dy = \int y^{-3}dy + \int y^{-1}dy = -\frac{1}{2y^{2}} + \ln\lvert y\rvert + C_{1}.

Passo 7

Portanto a função potencial é
\psi(x,y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2y^{2}} + \ln\lvert y\rvert + C_{1}.
A solução geral implícita da equação exata é
\psi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\boxed{ \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2y^{2}} + \ln\lvert y\rvert = C }.

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