Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=\alpha+\lambda \\\ y=1-\lambda \\\ z=4+\lambda\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=5+2 \mu \\\ y=\mu \\\ z=1+3 \mu\end{array}\right.,
a) encontre o valor de \alpha para que r e s sejam concorrentes num ponto A.
b) a seguir, encontre uma equação geral do plano \pi, determinado por r e s.
c) escreva equações paramétricas da perpendicular comum das retas r e s.
As perguntas são:
(a) determinar o valor de \alpha para que r e s se encontrem em um ponto A (ou seja, sejam concorrentes);
(b) encontrar uma equação geral do plano \pi determinado por r e s;
(c) escrever equações paramétricas da perpendicular comum das retas r e s.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Os vetores-direção das retas (coeficientes dos parâmetros) são, respectivamente, \mathbf{v}_r=(1,-1,1) para r e \mathbf{v}_s=(2,1,3) para s.
A interseção, se existir, ocorre para valores \lambda e \mu tais que as coordenadas (x,y,z) das duas retas coincidam; para descobrir \alpha vamos impor essa coincidência e resolver o sistema.]
Passo 2
Método para (a): para que as retas se encontrem deve existir (\lambda,\mu) tal que
Vou usar a segunda equação para expressar \mu em função de \lambda, depois substituir na terceira para achar \lambda; com \lambda e \mu encontrados, volto à primeira para obter \alpha.
Para (b): explicação do método para achar a equação do plano \pi determinado por duas retas concorrentes.
Um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores independentes que pertencem ao plano.
Podemos usar o ponto A=(7,1,4) e os vetores diretores das retas \mathbf{v}_r=(1,-1,1) e \mathbf{v}_s=(2,1,3).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é perpendicular aos dois vetores diretores e pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
Vou explicar o produto vetorial e calcular componente a componente.
Passo 6
Produto vetorial: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então
Observação: multiplicar \mathbf{n} por qualquer escalar não altera a equação do plano; uma forma alternativa é \mathbf{n}=(4,1,-3) (multiplicando por -1).
Passo 7
Equação do plano: se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal e A=(x_0,y_0,z_0) é ponto do plano então a equação escalar é
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Usando \mathbf{n}=(-4,-1,3) e A=(7,1,4) temos
-4(x-7)-1(y-1)+3(z-4)=0.
Expandindo:
-4x+28 - y +1 +3z -12 = 0.
Somando constantes:
-4x - y + 3z +17 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais “bonito”:
4x + y - 3z -17 = 0.
Essa é uma equação geral do plano \pi determinado por r e s.
Passo 8
Para (c): equações paramétricas da perpendicular comum.
Conceito e método: um segmento (linha) perpendicular a ambas as retas terá direção igual a um vetor perpendicular a \mathbf{v}_r e a \mathbf{v}_s; esse vetor é exatamente o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
Como as retas se intersectam (caso já resolvido em (a)), a perpendicular comum que é ao mesmo tempo perpendicular a ambas e comum às duas é a reta que passa por A com direção \mathbf{n}. (Se as retas fossem reversamente “skew” (não concorrentes), aí o procedimento seria resolver um sistema para os pontos mais próximos; mas aqui é mais simples.)
Usarei o vetor direção \mathbf{n}=(-4,-1,3) e o ponto A=(7,1,4).