Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=\alpha+\lambda \\\ y=1-\lambda \\\ z=4+\lambda\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=5+2 \mu \\\ y=\mu \\\ z=1+3 \mu\end{array}\right.,
a) encontre o valor de \alpha para que r e s sejam concorrentes num ponto A.
b) a seguir, encontre uma equação geral do plano \pi, determinado por r e s.
c) escreva equações paramétricas da perpendicular comum das retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paramétricas:
r:\begin{cases} x=\alpha+\lambda\\[4pt] y=1-\lambda\\[4pt] z=4+\lambda \end{cases} \qquad\text{e}\qquad s:\begin{cases} x=5+2\mu\\[4pt] y=\mu\\[4pt] z=1+3\mu \end{cases}
As perguntas são:
(a) determinar o valor de \alpha para que r e s se encontrem em um ponto A (ou seja, sejam concorrentes);
(b) encontrar uma equação geral do plano \pi determinado por r e s;
(c) escrever equações paramétricas da perpendicular comum das retas r e s.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Os vetores-direção das retas (coeficientes dos parâmetros) são, respectivamente, \mathbf{v}_r=(1,-1,1) para r e \mathbf{v}_s=(2,1,3) para s.
  • A interseção, se existir, ocorre para valores \lambda e \mu tais que as coordenadas (x,y,z) das duas retas coincidam; para descobrir \alpha vamos impor essa coincidência e resolver o sistema.]

Passo 2

Método para (a): para que as retas se encontrem deve existir (\lambda,\mu) tal que
\alpha+\lambda = 5+2\mu,\qquad 1-\lambda=\mu,\qquad 4+\lambda=1+3\mu.
Vou usar a segunda equação para expressar \mu em função de \lambda, depois substituir na terceira para achar \lambda; com \lambda e \mu encontrados, volto à primeira para obter \alpha.

Passo 3

Da segunda equação:
\mu = 1-\lambda.
Substituo na terceira equação:
4+\lambda = 1+3\mu = 1+3(1-\lambda)=1+3-3\lambda=4-3\lambda.
Agora resolvo para \lambda:
4+\lambda = 4-3\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda + 3\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\lambda =0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 0.
Com \lambda=0 obtemos \mu = 1-\lambda = 1.

Passo 4

Volto à primeira equação para achar \alpha:
\alpha + \lambda = 5+2\mu \quad\Rightarrow\quad \alpha + 0 = 5 + 2\cdot 1 = 7 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 7.
Logo as retas concorrem quando \alpha=7. O ponto de interseção A é dado por substituir \lambda=0 em r (ou \mu=1 em s):
A=(x,y,z)=(\alpha+\lambda,\;1-\lambda,\;4+\lambda)=(7,1,4).

Passo 5

Para (b): explicação do método para achar a equação do plano \pi determinado por duas retas concorrentes.
  • Um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores independentes que pertencem ao plano.
  • Podemos usar o ponto A=(7,1,4) e os vetores diretores das retas \mathbf{v}_r=(1,-1,1) e \mathbf{v}_s=(2,1,3).
  • O vetor normal \mathbf{n} ao plano é perpendicular aos dois vetores diretores e pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
    Vou explicar o produto vetorial e calcular componente a componente.

Passo 6

Produto vetorial: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando a \mathbf{v}_r=(1,-1,1) e \mathbf{v}_s=(2,1,3):
\mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s = \big((-1)\cdot 3 - 1\cdot 1,\;1\cdot 2 - 1\cdot 3,\;1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big).
Calculo cada componente:
\mathbf{n}=(-3-1,\;2-3,\;1+2)=(-4,\,-1,\,3).
Observação: multiplicar \mathbf{n} por qualquer escalar não altera a equação do plano; uma forma alternativa é \mathbf{n}=(4,1,-3) (multiplicando por -1).

Passo 7

Equação do plano: se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal e A=(x_0,y_0,z_0) é ponto do plano então a equação escalar é
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Usando \mathbf{n}=(-4,-1,3) e A=(7,1,4) temos
-4(x-7)-1(y-1)+3(z-4)=0.
Expandindo:
-4x+28 - y +1 +3z -12 = 0.
Somando constantes:
-4x - y + 3z +17 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais “bonito”:
4x + y - 3z -17 = 0.
Essa é uma equação geral do plano \pi determinado por r e s.

Passo 8

Para (c): equações paramétricas da perpendicular comum.
  • Conceito e método: um segmento (linha) perpendicular a ambas as retas terá direção igual a um vetor perpendicular a \mathbf{v}_r e a \mathbf{v}_s; esse vetor é exatamente o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
  • Como as retas se intersectam (caso já resolvido em (a)), a perpendicular comum que é ao mesmo tempo perpendicular a ambas e comum às duas é a reta que passa por A com direção \mathbf{n}. (Se as retas fossem reversamente “skew” (não concorrentes), aí o procedimento seria resolver um sistema para os pontos mais próximos; mas aqui é mais simples.)
    Usarei o vetor direção \mathbf{n}=(-4,-1,3) e o ponto A=(7,1,4).

Passo 9

Equações paramétricas da perpendicular comum (usando parâmetro t\)): \[\begin{cases} x=7-4t\\[4pt] y=1-t\\[4pt] z=4+3t \end{cases}
(Observação: usar (\mathbf{n}=(4,1,-3)] apenas mudaria o sinal do parâmetro, dando a mesma reta.)]

Resposta

(a) \alpha=7 e A=(7,1,4)
(b) \pi: 4x + y - 3z -17 = 0
(c) \displaystyle x=7-4t,\quad y=1-t,\quad z=4+3t

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