Exercício 7. Verifique quais das séries abaixo são convergentes ou não. Em caso afirmativo, obtenha o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a série
é convergente quando
, e, em caso afirmativo, obter o limite (o valor da soma). Informação dada:
. A pergunta é única: convergência e, se convergente, o valor da soma.
Passo 2
Vamos preparar a ferramenta que vamos usar: o teste da integral (também chamado de critério integral) para séries de termos positivos. Vou explicar devagar porque isso aparece muito em prova.
Considere uma função
tal que
, contínua e decrescente em
. Então, para todo inteiro
vale a desigualdade
Explicando a ideia visual: como
é decrescente, o retângulo de base
e altura
fica por cima da área sob a curva em
, mas por baixo da área sob a curva em
. Somando essas desigualdades para
obtemos
Isto é útil porque relaciona a soma parcial da série com integrais próprias. Tomando limite quando
, se a integral imprópria
converge (é finita), então as somas parciais ficam encaixadas entre duas quantidades finitas e, portanto, a série
converge. Se a integral diverge, a série também diverge (pela desigualdade).
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série, com a função
Primeiro verifiquemos as hipóteses do teste:
para
. A derivada é
Como
, temos
para todo
, logo
é decrescente em
. Também é contínua. Portanto podemos usar o teste da integral.
Calculemos a integral imprópria
Para
a primitiva de
é
. Como aqui
, o expoente
é negativo, então
Agora tomamos o limite
. Como
, temos
quando
. Logo
Portanto a integral converge e vale
.
Passo 4
Pela desigualdade do Passo 2, para as somas parciais
temos
Tomando
e usando que
obtemos que as somas parciais
ficam aprisionadas entre duas quantidades finitas; portanto
converge para um limite finito. Conclusão: para
a série
converge.
Além disso, as desigualdades dão um controle do valor da soma
:
ou seja
Isso prova convergência e dá uma estimativa simples do valor.
Passo 5
Agora sobre o valor exato da soma: o símbolo padrão para o valor
é a função zeta de Riemann, denotada
. Em geral não existe uma expressão elementar (em termos de radicais, exponenciais simples, etc.) para
para todo
. Há valores especiais conhecidos: por exemplo
mas para muitos
(por exemplo
) o valor não tem fórmula elementar conhecida. Portanto o mais correto é afirmar que, para
, a série converge e seu limite é
, um número finito cujo valor depende de
.
Resposta
A série converge para
quando
.
Em particular, .
Em particular,