Exercício 7. Verifique quais das séries abaixo são convergentes ou não. Em caso afirmativo, obtenha o limite.
\sum_{n>0} \frac{1}{n^{r}}, r>1.

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a série
\sum_{n>0}\frac{1}{n^{r}}
é convergente quando r>1, e, em caso afirmativo, obter o limite (o valor da soma). Informação dada: r>1. A pergunta é única: convergência e, se convergente, o valor da soma.

Passo 2

Vamos preparar a ferramenta que vamos usar: o teste da integral (também chamado de critério integral) para séries de termos positivos. Vou explicar devagar porque isso aparece muito em prova.
Considere uma função f tal que f(x)\ge 0, contínua e decrescente em [1,\infty). Então, para todo inteiro n\ge 1 vale a desigualdade
\int_{n}^{n+1} f(x)\,dx \le f(n) \le \int_{n-1}^{n} f(x)\,dx.
Explicando a ideia visual: como f é decrescente, o retângulo de base [n,n+1] e altura f(n) fica por cima da área sob a curva em [n,n+1], mas por baixo da área sob a curva em [n-1,n]. Somando essas desigualdades para n=1,2,\dots,N obtemos
\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N} f(n) \le f(1)+\int_{1}^{N} f(x)\,dx.
Isto é útil porque relaciona a soma parcial da série com integrais próprias. Tomando limite quando N\to\infty, se a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita), então as somas parciais ficam encaixadas entre duas quantidades finitas e, portanto, a série \sum_{n=1}^\infty f(n) converge. Se a integral diverge, a série também diverge (pela desigualdade).

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série, com a função
f(x)=\frac{1}{x^{r}},\quad x\ge 1.
Primeiro verifiquemos as hipóteses do teste: f(x)>0 para x\ge1. A derivada é
f'(x) = -r x^{-r-1}.
Como r>0, temos f'(x)<0 para todo x>0, logo f é decrescente em [1,\infty). Também é contínua. Portanto podemos usar o teste da integral.
Calculemos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{r}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-r}\,dx.
Para r\neq 1 a primitiva de x^{-r} é \dfrac{x^{1-r}}{1-r}. Como aqui r>1, o expoente 1-r é negativo, então
\int_{1}^{b} x^{-r}\,dx = \left[\frac{x^{1-r}}{1-r}\right]_{1}^{b} = \frac{b^{1-r}-1}{1-r}.
Agora tomamos o limite b\to\infty. Como 1-r<0, temos b^{1-r}\to 0 quando b\to\infty. Logo
\int_{1}^{\infty} x^{-r}\,dx = \frac{0-1}{1-r} = \frac{1}{r-1}.
Portanto a integral converge e vale \dfrac{1}{r-1}.

Passo 4

Pela desigualdade do Passo 2, para as somas parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{n^{r}} temos
\int_{1}^{N+1} x^{-r}\,dx \le S_{N} \le 1 + \int_{1}^{N} x^{-r}\,dx.
Tomando N\to\infty e usando que \int_{1}^{\infty} x^{-r}\,dx = \dfrac{1}{r-1} obtemos que as somas parciais S_{N} ficam aprisionadas entre duas quantidades finitas; portanto S_{N} converge para um limite finito. Conclusão: para r>1 a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{r}} converge.
Além disso, as desigualdades dão um controle do valor da soma S=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{r}}:
\int_{1}^{\infty} x^{-r}\,dx \le S \le 1 + \int_{1}^{\infty} x^{-r}\,dx,
ou seja
\frac{1}{r-1} \le S \le 1 + \frac{1}{r-1}.
Isso prova convergência e dá uma estimativa simples do valor.

Passo 5

Agora sobre o valor exato da soma: o símbolo padrão para o valor
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{r}}
é a função zeta de Riemann, denotada \zeta(r). Em geral não existe uma expressão elementar (em termos de radicais, exponenciais simples, etc.) para \zeta(r) para todo r. Há valores especiais conhecidos: por exemplo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6},
mas para muitos r (por exemplo r=3) o valor não tem fórmula elementar conhecida. Portanto o mais correto é afirmar que, para r>1, a série converge e seu limite é \zeta(r), um número finito cujo valor depende de r.

Resposta

A série converge para \zeta(r)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{r}} quando r>1.
Em particular, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}.

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