Exercício 7. Verifique quais das séries abaixo são convergentes ou não. Em caso afirmativo, obtenha o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, obter o limite (soma). Informações dadas: o termo geral é
e a somação é para todos os inteiros
. Interpreto isso como a série a partir de
até
, ou seja:
Perguntas explícitas: (1) a série converge? (2) se sim, qual é o seu somatório (limite das somas parciais)?
Passo 2
Escolha do método: aqui o jeito mais direto é usar decomposição em frações parciais para reescrever
como diferença de duas frações mais simples. Isso normalmente gera uma série telescópica — explico já o que é isso — e permite calcular as somas parciais explicitamente sem técnicas avançadas. Vou justificar por que esse método é o melhor: fornece a soma exata de forma rápida e evita comparações ou integrais desnecessárias.
Breve explicação do conceito que usaremos:
- Frações parciais: qualquer razão racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos do tipo
. Aqui o denominador sugere escrever
encontrando constantes
.
- Série telescópica: uma série cujos termos se cancelam parcialmente quando somamos os primeiros
termos, deixando apenas poucas parcelas nas extremidades. Isso facilita achar o limite das somas parciais.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais. Procuramos
e
tais que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Isso deve valer para todo
, então igualamos coeficientes em
:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Daí
e
. Portanto
Passo 4
Calculemos as somas parciais e veja o telescoping na prática. Defina a soma parcial de ordem
por
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Observa-se que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante; todos os termos intermediários se eliminam, sobrando apenas as extremidades:
Simplificando,
Passo 5
Agora passe ao limite quando
. Temos uma fórmula explícita para
:
O limite dessa sequência é
pois para
grande o termo
vai a zero. Logo as somas parciais convergem para
.
Também dá para justificar a convergência pela monotonia e limite: os
são positivos e crescentes (cada termo adicionado é positivo) e estão todos abaixo de
(pois
), logo são monotone limitados superiormente, o que garante convergência — e já calculamos o limite.
Passo 6
Exemplo curto para fixar a ideia: a série
também se decompõe por frações parciais como
leva a cancelamentos e tem soma
Isto só para mostrar que o mesmo truque funciona em muitos casos parecidos.
Resposta
A série converge e
.