Exercício 7. Verifique quais das séries abaixo são convergentes ou não. Em caso afirmativo, obtenha o limite.
\sum_{n>0} \frac{1}{n(n+1)}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n>0} \frac{1}{n(n+1)}
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, obter o limite (soma). Informações dadas: o termo geral é \dfrac{1}{n(n+1)} e a somação é para todos os inteiros n>0. Interpreto isso como a série a partir de n=1 até +\infty, ou seja:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}.
Perguntas explícitas: (1) a série converge? (2) se sim, qual é o seu somatório (limite das somas parciais)?

Passo 2

Escolha do método: aqui o jeito mais direto é usar decomposição em frações parciais para reescrever \dfrac{1}{n(n+1)} como diferença de duas frações mais simples. Isso normalmente gera uma série telescópica — explico já o que é isso — e permite calcular as somas parciais explicitamente sem técnicas avançadas. Vou justificar por que esse método é o melhor: fornece a soma exata de forma rápida e evita comparações ou integrais desnecessárias.
Breve explicação do conceito que usaremos:
  • Frações parciais: qualquer razão racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos do tipo \dfrac{A}{\text{fator}}. Aqui o denominador n(n+1) sugere escrever
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1},
encontrando constantes A,B.
  • Série telescópica: uma série cujos termos se cancelam parcialmente quando somamos os primeiros N termos, deixando apenas poucas parcelas nas extremidades. Isso facilita achar o limite das somas parciais.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais. Procuramos A e B tais que, para todo n,
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) obtemos a identidade polinomial
1 = A(n+1) + Bn.
Isso deve valer para todo n, então igualamos coeficientes em n:
  • coeficiente de n: A + B = 0,
  • termo constante: A = 1.
Daí A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.

Passo 4

Calculemos as somas parciais e veja o telescoping na prática. Defina a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right). \end{aligned}
Observa-se que -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, e assim por diante; todos os termos intermediários se eliminam, sobrando apenas as extremidades:
S_N = \frac{1}{1} - \frac{1}{N+1}.
Simplificando,
S_N = 1 - \frac{1}{N+1} = \frac{N}{N+1}.

Passo 5

Agora passe ao limite quando N\to\infty. Temos uma fórmula explícita para S_N:
S_N=\frac{N}{N+1}.
O limite dessa sequência é
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{N}{N+1} = 1,
pois para N grande o termo 1/(N+1) vai a zero. Logo as somas parciais convergem para 1.
Também dá para justificar a convergência pela monotonia e limite: os S_N são positivos e crescentes (cada termo adicionado é positivo) e estão todos abaixo de 1 (pois S_N=1-\tfrac{1}{N+1}<1), logo são monotone limitados superiormente, o que garante convergência — e já calculamos o limite.

Passo 6

Exemplo curto para fixar a ideia: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}
também se decompõe por frações parciais como
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right),
leva a cancelamentos e tem soma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{3}{4}.
Isto só para mostrar que o mesmo truque funciona em muitos casos parecidos.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1.

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