Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “B” ?
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “B” ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
- Você compra
bombons do tipo . - Você compra
bombons do tipo . - No total há
bombons na caixa (peguei esses números do enunciado). - Você retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro bombom retirado fica fora da caixa antes do segundo sorteio).
Pergunta: Qual é a probabilidade de os dois bombons retirados serem do tipo?
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. O enunciado envolve sorteios sem reposição e a probabilidade do evento “primeiro é B e segundo é B”. O método mais direto e básico para isso é usar a regra da multiplicação para probabilidades condicionais:
Esse método é simples, direto e fácil de aplicar sem calculadora. Mais adiante eu mostro também um método alternativo por contagem (combinatória) para confirmar o resultado — é sempre bom checar com dois jeitos.
Passo 3
Explicando a regra que vamos usar (aula rápida):
Se é o evento "o primeiro bombom é
" e
é o evento "o segundo bombom é
", então a probabilidade de ambos ocorrerem é
Se
O termo
lê-se “probabilidade de
dado que
ocorreu” — aqui representa que, ao sortear o segundo bombom, a composição da caixa mudou porque já saiu o primeiro bombom.
Passo 4
Calcular
, a probabilidade de o primeiro bombom ser
.
No começo há bombons
entre
no total. Assim
No começo há
Explicação simples: ao sortear um bombom aleatoriamente, a chance de escolher um dos
B dentre
é
.
Passo 5
Calcular
, a probabilidade de o segundo bombom ser
sabendo que o primeiro foi
.
Como o primeiro retirado foi um e não volta para a caixa, agora restam:
Como o primeiro retirado foi um
-
bombons (porque um foi retirado), - total de
bombons restantes (porque um foi retirado do total ).
Logo
Intuição: entre os
que sobraram,
são B.
Passo 6
Agora aplicamos a multiplicação:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Verificação alternativa (combinatória) — outra aula rápida:
Quando a ordem dos dois bombons não importa para o evento “os dois são B”, podemos contar quantas escolhas de bombons são possíveis e quantas são favoráveis.
Quando a ordem dos dois bombons não importa para o evento “os dois são B”, podemos contar quantas escolhas de
- Número de maneiras de escolher
bombons dentre os B: - Número de maneiras de escolher
bombons dentre todos os :
Portanto a probabilidade é
que coincide com o resultado obtido pelo método condicional. Boa confirmação!
Passo 8
Interpretação final e número aproximado para intuição:
. Ou seja, pouco mais de
de chance — faz sentido: havia bem mais B do que A inicialmente (
contra
), então é mais provável tirar dois B.