Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “B” ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Você compra \,3\, bombons do tipo \,A\,.
  • Você compra \,8\, bombons do tipo \,B\,.
  • No total há \,11\, bombons na caixa (peguei esses números do enunciado).
  • Você retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro bombom retirado fica fora da caixa antes do segundo sorteio).
    Pergunta: Qual é a probabilidade de os dois bombons retirados serem do tipo \,B\,?

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. O enunciado envolve sorteios sem reposição e a probabilidade do evento “primeiro é B e segundo é B”. O método mais direto e básico para isso é usar a regra da multiplicação para probabilidades condicionais:
P(\text{B e B}) = P(\text{B no 1º}) \cdot P(\text{B no 2º} \mid \text{B no 1º}).ººº
Esse método é simples, direto e fácil de aplicar sem calculadora. Mais adiante eu mostro também um método alternativo por contagem (combinatória) para confirmar o resultado — é sempre bom checar com dois jeitos.

Passo 3

Explicando a regra que vamos usar (aula rápida):
Se E_1 é o evento "o primeiro bombom é \,B\," e E_2 é o evento "o segundo bombom é \,B\,", então a probabilidade de ambos ocorrerem é
P(E_1\cap E_2)=P(E_1)\,P(E_2\mid E_1).
O termo P(E_2\mid E_1) lê-se “probabilidade de E_2 dado que E_1 ocorreu” — aqui representa que, ao sortear o segundo bombom, a composição da caixa mudou porque já saiu o primeiro bombom.

Passo 4

Calcular P(E_1), a probabilidade de o primeiro bombom ser \,B.
No começo há \,8\, bombons \,B\, entre \,11\, no total. Assim
P(E_1)=\frac{8}{11}.
Explicação simples: ao sortear um bombom aleatoriamente, a chance de escolher um dos \,8\, B dentre \,11\, é \frac{8}{11}.

Passo 5

Calcular P(E_2\mid E_1), a probabilidade de o segundo bombom ser \,B sabendo que o primeiro foi \,B.
Como o primeiro retirado foi um \,B\, e não volta para a caixa, agora restam:
  • \,7\, bombons \,B\, (porque um foi retirado),
  • total de \,10\, bombons restantes (porque um foi retirado do total \,11\,).
    Logo
P(E_2\mid E_1)=\frac{7}{10}.
Intuição: entre os \,10\, que sobraram, \,7\, são B.

Passo 6

Agora aplicamos a multiplicação:
P(\text{B e B}) = P(E_1)\,P(E_2\mid E_1)=\frac{8}{11}\cdot\frac{7}{10}.
Fazendo a multiplicação:
\frac{8}{11}\cdot\frac{7}{10}=\frac{56}{110}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por \,2\,:
\frac{56}{110}=\frac{28}{55}.

Passo 7

Verificação alternativa (combinatória) — outra aula rápida:
Quando a ordem dos dois bombons não importa para o evento “os dois são B”, podemos contar quantas escolhas de 2 bombons são possíveis e quantas são favoráveis.
  • Número de maneiras de escolher 2 bombons dentre os \,8\, B: \displaystyle \binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.
  • Número de maneiras de escolher 2 bombons dentre todos os \,11\,: \displaystyle \binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2}=55.
    Portanto a probabilidade é
\frac{\binom{8}{2}}{\binom{11}{2}}=\frac{28}{55},
que coincide com o resultado obtido pelo método condicional. Boa confirmação!

Passo 8

Interpretação final e número aproximado para intuição: \displaystyle \frac{28}{55}\approx 0{,}50909. Ou seja, pouco mais de 50\% de chance — faz sentido: havia bem mais B do que A inicialmente ( 8 contra 3), então é mais provável tirar dois B.

Resposta

\dfrac{28}{55}

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