Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A” ?
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A” ?
Passo 1
O enunciado diz que você compra
bombons do tipo “A” e
bombons do tipo “B”, e coloca todos dentro de uma caixa, totalizando
bombons. Você sacode a caixa e retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro bombom retirado não volta para a caixa antes do segundo sorteio).
A pergunta é: Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A”?
A pergunta é: Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A”?
Passo 2
Vamos definir eventos e a ideia básica que vamos usar. Defina:
= “o primeiro bombom é do tipo A”
= “o segundo bombom é do tipo A”
Queremos : a probabilidade de ocorrer
e
juntos (ou seja, dois A seguidos).
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais:
Queremos
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais:
Explicando:
é a probabilidade de o segundo ser A sabendo que o primeiro já saiu A. Isso é natural porque, sem reposição, o segundo sorteio depende do resultado do primeiro.
Passo 3
Calcule
: no primeiro sorteio há
bombons “A” entre
bombons no total, então
Explicação simples: probabilidade = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos possíveis).
Passo 4
Calcule
: se o primeiro bombom foi A, então resta na caixa
bombons A (porque um A saiu) e o total de bombons passa a ser
. Portanto
Observação: esse raciocínio usa a informação “sem reposição” — se houvesse reposição, a segunda probabilidade seria igual à primeira.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto e fazemos as contas passo a passo:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
(Verificação alternativa por contagem combinatória — útil para testar se você entendeu.)
Contamos de quantas maneiras podemos escolher bombons “A” dentre os
disponíveis e dividimos pelo número de maneiras de escolher quaisquer
bombons dentre os
. Isso dá
Contamos de quantas maneiras podemos escolher
Calculemos:
logo
o mesmo resultado — ótimo sinal de que os dois métodos coincidem.
Passo 7
Interpretação final e número aproximado:
é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Não é uma probabilidade alta — faz sentido, porque só há
A entre
bombons. Força aí — com esse passo a passo você resolve rápido esse tipo de problema na prova!