Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A” ?

Passo 1

O enunciado diz que você compra 3 bombons do tipo “A” e 8 bombons do tipo “B”, e coloca todos dentro de uma caixa, totalizando 11 bombons. Você sacode a caixa e retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro bombom retirado não volta para a caixa antes do segundo sorteio).
A pergunta é: Qual é a probabilidade de sortear 2 bombons “A”?

Passo 2

Vamos definir eventos e a ideia básica que vamos usar. Defina:
A_1 = “o primeiro bombom é do tipo A”
A_2 = “o segundo bombom é do tipo A”
Queremos P(A_1\cap A_2): a probabilidade de ocorrer A_1 e A_2 juntos (ou seja, dois A seguidos).
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais:
P(A_1\cap A_2)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1).
Explicando: P(A_2\mid A_1) é a probabilidade de o segundo ser A sabendo que o primeiro já saiu A. Isso é natural porque, sem reposição, o segundo sorteio depende do resultado do primeiro.

Passo 3

Calcule P(A_1): no primeiro sorteio há 3 bombons “A” entre 11 bombons no total, então
P(A_1)=\frac{3}{11}.
Explicação simples: probabilidade = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos possíveis).

Passo 4

Calcule P(A_2\mid A_1): se o primeiro bombom foi A, então resta na caixa 2 bombons A (porque um A saiu) e o total de bombons passa a ser 10. Portanto
P(A_2\mid A_1)=\frac{2}{10}.
Observação: esse raciocínio usa a informação “sem reposição” — se houvesse reposição, a segunda probabilidade seria igual à primeira.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto e fazemos as contas passo a passo:
P(A_1\cap A_2)=\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{10}=\frac{6}{110}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{6}{110}=\frac{3}{55}.

Passo 6

(Verificação alternativa por contagem combinatória — útil para testar se você entendeu.)
Contamos de quantas maneiras podemos escolher 2 bombons “A” dentre os 3 disponíveis e dividimos pelo número de maneiras de escolher quaisquer 2 bombons dentre os 11. Isso dá
\frac{\binom{3}{2}}{\binom{11}{2}}.
Calculemos:
\binom{3}{2}=3,\qquad \binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2}=55,
logo
\frac{\binom{3}{2}}{\binom{11}{2}}=\frac{3}{55},
o mesmo resultado — ótimo sinal de que os dois métodos coincidem.

Passo 7

Interpretação final e número aproximado: \dfrac{3}{55} é aproximadamente 0{,}0545, ou seja cerca de 5{,}45\%. Não é uma probabilidade alta — faz sentido, porque só há 3 A entre 11 bombons. Força aí — com esse passo a passo você resolve rápido esse tipo de problema na prova!

Resposta

\dfrac{3}{55}

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