Exercício 4. Em uma sala de aula tem 110 alunos, distribuído da seguinte maneira: 50 alunos de “Rio Paranaíba”, 40 de “São Gotardo” e 20 de “Carmo do Paranaíba”. Ao realizar um sorteio, qual é a probabilidade de sortear um aluno que seja de “Rio Paranaíba” ou de “Carmo do Paranaíba”? (R: 7/11)

Passo 1

O enunciado fala de uma sala com 110 alunos e dá a distribuição por cidade:
  • 50 alunos de “Rio Paranaíba” (peguei esse dado do enunciado),
  • 40 alunos de “São Gotardo” (peguei esse dado do enunciado),
  • 20 alunos de “Carmo do Paranaíba” (peguei esse dado do enunciado).
A pergunta é: qual é a probabilidade de, ao realizar um sorteio entre os 110 alunos, sair um aluno que seja de “Rio Paranaíba” OU de “Carmo do Paranaíba”?

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado devagar): quando todos os resultados são igualmente prováveis (cada aluno tem a mesma chance de ser sorteado), a probabilidade de um evento E é dada por
P(E)=\frac{\text{número de resultados favoráveis a }E}{\text{número total de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui “número total de resultados possíveis” é o total de alunos ( 110). “Número de resultados favoráveis” é quantos alunos pertencem ao conjunto que queremos (neste caso, os que são de “Rio Paranaíba” ou “Carmo do Paranaíba”). Exemplo rápido para fixar: num dado justo de 6 faces, a probabilidade de sair um número par é \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, porque há 3 faces pares entre 6 totais.

Passo 3

Identificar os resultados favoráveis usando os dados do enunciado (estou pegando os números diretamente do enunciado):
  • Favoráveis: alunos de “Rio Paranaíba” ( 50) OU de “Carmo do Paranaíba” ( 20).
    Como “ser de Rio Paranaíba” e “ser de Carmo do Paranaíba” são categorias disjuntas (um aluno não pode ser das duas cidades ao mesmo tempo), podemos somar as quantidades:
\text{número de favoráveis} = 50 + 20 = 70.úá

Passo 4

Aplicar a fórmula da probabilidade com os valores que temos:
P(\text{ser de Rio Paranaíba ou Carmo do Paranaíba}) = \frac{70}{110}.íí
Agora simplificamos a fração. Ambos 70 e 110 são divisíveis por 10, então dividimos numerador e denominador por 10:
\frac{70}{110}=\frac{70\div10}{110\div10}=\frac{7}{11}.
Explicando a simplificação: reduzir uma fração é retirar um fator comum do numerador e do denominador; aqui o fator comum é 10. Em geral, pode-se usar o máximo divisor comum (MDC) para ir direto à fração reduzida.

Passo 5

Interpretação intuitiva e checagem rápida:
  • Como \frac{7}{11} é aproximadamente 0{,}63636\ldots, isso equivale a cerca de 63{,}636\%. Ou seja, se você repetir muitos sorteios semelhantes, cerca de 64\% das vezes o sorteado será de “Rio Paranaíba” ou “Carmo do Paranaíba”.
  • Checagem por sentido: 70 favoráveis em 110 totais é mais da metade, então a probabilidade deve ser maior que 1/2; \frac{7}{11}\approx0{,}636 satisfaz isso.

Passo 6

Dica para prova (onde muita gente erra): só some quantidades quando as categorias forem disjuntas (sem sobreposição). Se houvesse alunos que pertencessem simultaneamente a ambas as categorias (por exemplo, pertencessem a dois grupos), precisaríamos usar a fórmula da união com subtração da interseção:
P(A\cup B)=\frac{|A|+|B|-|A\cap B|}{\text{total}}.
No nosso caso a interseção é vazia, então a subtração é zero e a soma direta está correta. Respire fundo: somar as quantidades certas e reduzir a fração é todo o trabalho aqui — e está ok pedir para rabiscar os números antes de reduzir.

Resposta

\dfrac{7}{11}

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