Exercício 4. Em uma sala de aula tem 110 alunos, distribuído da seguinte maneira: 50 alunos de “Rio Paranaíba”, 40 de “São Gotardo” e 20 de “Carmo do Paranaíba”. Ao realizar um sorteio, qual é a probabilidade de sortear um aluno que seja de “Rio Paranaíba” ou de “Carmo do Paranaíba”? (R: 7/11)
Passo 1
O enunciado fala de uma sala com
alunos e dá a distribuição por cidade:
-
alunos de “Rio Paranaíba” (peguei esse dado do enunciado), -
alunos de “São Gotardo” (peguei esse dado do enunciado), -
alunos de “Carmo do Paranaíba” (peguei esse dado do enunciado).
A pergunta é: qual é a probabilidade de, ao realizar um sorteio entre os
alunos, sair um aluno que seja de “Rio Paranaíba” OU de “Carmo do Paranaíba”?
Passo 2
Conceito que precisamos usar (explicado devagar): quando todos os resultados são igualmente prováveis (cada aluno tem a mesma chance de ser sorteado), a probabilidade de um evento
é dada por
Aqui “número total de resultados possíveis” é o total de alunos (
). “Número de resultados favoráveis” é quantos alunos pertencem ao conjunto que queremos (neste caso, os que são de “Rio Paranaíba” ou “Carmo do Paranaíba”). Exemplo rápido para fixar: num dado justo de
faces, a probabilidade de sair um número par é
, porque há
faces pares entre
totais.
Passo 3
Identificar os resultados favoráveis usando os dados do enunciado (estou pegando os números diretamente do enunciado):
- Favoráveis: alunos de “Rio Paranaíba” (
) OU de “Carmo do Paranaíba” ( ).
Como “ser de Rio Paranaíba” e “ser de Carmo do Paranaíba” são categorias disjuntas (um aluno não pode ser das duas cidades ao mesmo tempo), podemos somar as quantidades:
Passo 4
Aplicar a fórmula da probabilidade com os valores que temos:
Agora simplificamos a fração. Ambos
e
são divisíveis por
, então dividimos numerador e denominador por
:
Explicando a simplificação: reduzir uma fração é retirar um fator comum do numerador e do denominador; aqui o fator comum é
. Em geral, pode-se usar o máximo divisor comum (MDC) para ir direto à fração reduzida.
Passo 5
Interpretação intuitiva e checagem rápida:
- Como
é aproximadamente , isso equivale a cerca de . Ou seja, se você repetir muitos sorteios semelhantes, cerca de das vezes o sorteado será de “Rio Paranaíba” ou “Carmo do Paranaíba”. - Checagem por sentido:
favoráveis em totais é mais da metade, então a probabilidade deve ser maior que ; satisfaz isso.
Passo 6
Dica para prova (onde muita gente erra): só some quantidades quando as categorias forem disjuntas (sem sobreposição). Se houvesse alunos que pertencessem simultaneamente a ambas as categorias (por exemplo, pertencessem a dois grupos), precisaríamos usar a fórmula da união com subtração da interseção:
No nosso caso a interseção é vazia, então a subtração é zero e a soma direta está correta. Respire fundo: somar as quantidades certas e reduzir a fração é todo o trabalho aqui — e está ok pedir para rabiscar os números antes de reduzir.