Exercício 9: Você puxa lateralmente um pêndulo simples de
de comprimento até um ângulo de
e solta-o a seguir.
(a) Quanto tempo leva para o peso do pêndulo atingir a velocidade mais elevada?
(a) Quanto tempo leva para o peso do pêndulo atingir a velocidade mais elevada?
Passo 1
O enunciado pede: a partir de um pêndulo simples de comprimento
que é puxado lateralmente até um ângulo inicial de
e então solto, determinar (a) o tempo que leva para o peso atingir a velocidade máxima.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. - ângulo inicial
(o pêndulo é solto a partir desse deslocamento). - o pêndulo é solto a partir do repouso (velocidade inicial nula).
Passo 2
Vamos modelar o movimento do pêndulo para ângulos pequenos e entender quando a velocidade é máxima.
Teoria necessária (explicada de forma simples). Para um pêndulo simples de massa concentrada na extremidade e fio inextensível, a equação exata do movimento angular é não linear porque aparece
. Para ângulos pequenos faz-se a aproximação
(em radianos). Essa aproximação transforma a equação em uma equação de movimento harmônico simples, que tem solução conhecida.
Escrevendo a equação linearizada:
onde:
-
é o ângulo em radianos como função do tempo, -
é a segunda derivada temporal de (aceleração angular), -
é a aceleração da gravidade (usarei ), -
é o comprimento do pêndulo.
Observação: a conversão do ângulo para radianos é feita por
. Aqui o valor pequeno de
justifica muito bem a aproximação
.
Passo 3
Solução do movimento harmônico e determinação do instante de velocidade máxima.
Para a equação
temos a definição da frequência angular
A solução geral é combinação de seno e cosseno. Como o pêndulo é solto a partir do repouso com
e
, a solução é
A velocidade angular é
A velocidade linear da massa na extremidade é
A velocidade atinge seu valor máximo quando
. O primeiro instante positivo em que isso ocorre (a partir de
) é quando
Também é útil notar que o período do movimento é
, então esse instante é
: o tempo para ir da amplitude até a passagem pelo ponto de equilíbrio (onde a velocidade é máxima) é um quarto do período.
Passo 4
Cálculo numérico com os valores dados.
Calcular
:
Fazendo as contas:
Agora o tempo até a velocidade máxima:
Interpretação curta e encorajamento: portanto, em cerca de um quarto de segundo o peso atinge sua velocidade máxima ao passar pelo ponto vertical. Isso é rápido — bom sinal, porque em prova deve-se reconhecer a relação
e calcular
rapidamente.