Exercício 9: Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 \mathrm{~m} de comprimento até um ângulo de 3,50^{\circ} e solta-o a seguir.
(a) Quanto tempo leva para o peso do pêndulo atingir a velocidade mais elevada?

Passo 1

O enunciado pede: a partir de um pêndulo simples de comprimento L=0,240\\ \mathrm{m} que é puxado lateralmente até um ângulo inicial de 3,50^\circ e então solto, determinar (a) o tempo que leva para o peso atingir a velocidade máxima.
Informações dadas:
  • L = 0,240\\ \mathrm{m}.
  • ângulo inicial \theta_0 = 3,50^\circ (o pêndulo é solto a partir desse deslocamento).
  • o pêndulo é solto a partir do repouso (velocidade inicial nula).

Passo 2

Vamos modelar o movimento do pêndulo para ângulos pequenos e entender quando a velocidade é máxima.
Teoria necessária (explicada de forma simples). Para um pêndulo simples de massa concentrada na extremidade e fio inextensível, a equação exata do movimento angular é não linear porque aparece \sin\theta. Para ângulos pequenos faz-se a aproximação \sin\theta \approx \theta (em radianos). Essa aproximação transforma a equação em uma equação de movimento harmônico simples, que tem solução conhecida.
Escrevendo a equação linearizada:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde:
  • \theta(t) é o ângulo em radianos como função do tempo,
  • \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal de \theta (aceleração angular),
  • g é a aceleração da gravidade (usarei g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}),
  • L é o comprimento do pêndulo.
Observação: a conversão do ângulo para radianos é feita por \theta_0(\text{rad})=\theta_0(^\circ)\times\pi/180. Aqui o valor pequeno de 3,50^\circ justifica muito bem a aproximação \sin\theta\approx\theta.

Passo 3

Solução do movimento harmônico e determinação do instante de velocidade máxima.
Para a equação
\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0,
temos a definição da frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
A solução geral é combinação de seno e cosseno. Como o pêndulo é solto a partir do repouso com \theta(0)=\theta_0 e \dot{\theta}(0)=0, a solução é
\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t).
A velocidade angular é
\dot{\theta}(t)=-\theta_0\,\omega\,\sin(\omega t).
A velocidade linear da massa na extremidade é
v(t)=L\,|\dot{\theta}(t)|=L\,\theta_0\,\omega\,|\sin(\omega t)|.
A velocidade atinge seu valor máximo quando |\sin(\omega t)|=1. O primeiro instante positivo em que isso ocorre (a partir de t=0) é quando
\omega t = \frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi}{2\omega}.
Também é útil notar que o período do movimento é T=\dfrac{2\pi}{\omega}, então esse instante é t=T/4: o tempo para ir da amplitude até a passagem pelo ponto de equilíbrio (onde a velocidade é máxima) é um quarto do período.

Passo 4

Cálculo numérico com os valores dados.
Calcular \omega:
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}=\sqrt{\frac{9,80}{0,240}}.
Fazendo as contas:
\frac{9,80}{0,240}=40,833\ldots
\omega=\sqrt{40,833\ldots}\approx 6,39\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora o tempo até a velocidade máxima:
t=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{2\cdot 6,39}\approx 0,246\\ \mathrm{s}.
Interpretação curta e encorajamento: portanto, em cerca de um quarto de segundo o peso atinge sua velocidade máxima ao passar pelo ponto vertical. Isso é rápido — bom sinal, porque em prova deve-se reconhecer a relação t=T/4 e calcular \omega rapidamente.

Resposta

t\approx 0,246\\ \mathrm{s}

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