Exercício 8: Um bloco de
sem atrito preso a uma mola ideal com constante de força de
passa por um MHS. Quando o bloco tem deslocamento
, ele se move na direção x negativa com uma velocidade de
. Ache: (a) a amplitude do movimento; (b) a aceleração máxima do bloco; e (c) a força máxima que a mola exerce sobre o bloco. Respostas: (a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Constante da mola:
. - Em certo instante o deslocamento é
. - Nesse mesmo instante a velocidade é
, e o bloco se move na direção negativa de (isso indica sentido da velocidade, mas vamos usar apenas o módulo no cálculo de energia).
O que o enunciado pede:
(a) a amplitude do movimento;
(b) a aceleração máxima do bloco;
(c) a força máxima que a mola exerce sobre o bloco.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): em um movimento harmônico simples (MHS) livre massa-mola sem atrito, a energia mecânica total é conservada e é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. A energia total pode ser escrita em qualquer instante como
e, como energia total é constante, ela é igual à energia quando a massa está no extremo (onde a velocidade é zero), isto é
Explicando as letras:
-
é a energia mecânica total (em joules); -
é a constante elástica da mola ( ); -
é o deslocamento no instante considerado (m); -
é a massa (kg); -
é a velocidade no instante considerado ( ); -
é a amplitude (m), que é o máximo valor absoluto do deslocamento.
Passo 3
A partir de
podemos isolar
. Cancelando o fator
e dividindo por
fica
Extraindo raiz positiva (amplitude é módulo do deslocamento máximo),
Essa fórmula diz: amplitude é contribuição do deslocamento instantâneo mais o “termo cinético” transformado em equivalente de deslocamento pela mola.
Passo 4
Agora calculamos numericamente com os dados dados (todos os números aparecem em TeX e usam vírgula decimal).
Calcule primeiro o termo :
Calcule primeiro o termo
Calcule
:
Some:
Agora a raiz:
Portanto a amplitude é
.
Passo 5
Para achar a aceleração máxima usamos a relação do MHS entre aceleração e deslocamento. A aceleração instantânea é
, onde
é a frequência angular. A aceleração máxima em módulo ocorre no extremo e vale
A frequência angular satisfaz
. Calcule:
Então
(arredondado para três algarismos significativos).
Passo 6
A força que a mola exerce é dada pela lei de Hooke:
. A magnitude máxima da força ocorre na amplitude e vale
Calcule numericamente:
(mais precisamente
, aqui apresentado com três dígitos significativos conforme enunciado).
Resposta
(a)
(b)
(c)