Exercício 8: Um bloco de 2,00 \mathrm{~kg} sem atrito preso a uma mola ideal com constante de força de 315 \mathrm{~N} / \mathrm{m} passa por um MHS. Quando o bloco tem deslocamento 0,200 \mathrm{~m}, ele se move na direção x negativa com uma velocidade de 4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache: (a) a amplitude do movimento; (b) a aceleração máxima do bloco; e (c) a força máxima que a mola exerce sobre o bloco. Respostas: (a) 0,376 \mathrm{~m} (b) 59,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (c) 118,4 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
  • Massa do bloco: m=2,00\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=315\\ \mathrm{N/m}.
  • Em certo instante o deslocamento é x=0,200\\ \mathrm{m}.
  • Nesse mesmo instante a velocidade é v=4,00\\ \mathrm{m/s}, e o bloco se move na direção negativa de x (isso indica sentido da velocidade, mas vamos usar apenas o módulo no cálculo de energia).
    O que o enunciado pede:
    (a) a amplitude do movimento A;
    (b) a aceleração máxima do bloco a_{\max};
    (c) a força máxima que a mola exerce sobre o bloco F_{\max}.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): em um movimento harmônico simples (MHS) livre massa-mola sem atrito, a energia mecânica total é conservada e é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. A energia total pode ser escrita em qualquer instante como
E=\tfrac{1}{2}k x^{2}+\tfrac{1}{2}m v^{2},
e, como energia total é constante, ela é igual à energia quando a massa está no extremo (onde a velocidade é zero), isto é
E=\tfrac{1}{2}k A^{2}.
Explicando as letras:
  • E é a energia mecânica total (em joules);
  • k é a constante elástica da mola ( \mathrm{N/m});
  • x é o deslocamento no instante considerado (m);
  • m é a massa (kg);
  • v é a velocidade no instante considerado ( \mathrm{m/s});
  • A é a amplitude (m), que é o máximo valor absoluto do deslocamento.

Passo 3

A partir de \tfrac{1}{2}k A^{2}=\tfrac{1}{2}k x^{2}+\tfrac{1}{2}m v^{2} podemos isolar A. Cancelando o fator \tfrac{1}{2} e dividindo por k fica
A^{2}=x^{2}+\frac{m v^{2}}{k}.
Extraindo raiz positiva (amplitude é módulo do deslocamento máximo),
A=\sqrt{x^{2}+\frac{m v^{2}}{k}}.
Essa fórmula diz: amplitude é contribuição do deslocamento instantâneo mais o “termo cinético” transformado em equivalente de deslocamento pela mola.

Passo 4

Agora calculamos numericamente com os dados dados (todos os números aparecem em TeX e usam vírgula decimal).
Calcule primeiro o termo \dfrac{m v^{2}}{k}:
m v^{2}=2{,}00\times(4{,}00)^{2}=2{,}00\times16=32{,}0
\frac{m v^{2}}{k}=\frac{32{,}0}{315}=0{,}101587\ldots
Calcule x^{2}:
x^{2}=(0{,}200)^{2}=0{,}0400.
Some:
x^{2}+\frac{m v^{2}}{k}=0{,}0400+0{,}101587\ldots=0{,}141587\ldots
Agora a raiz:
A=\sqrt{0{,}141587\ldots}=0{,}376\\ (\text{arredondando a três algarismos significativos}).ê
Portanto a amplitude é A=0{,}376\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para achar a aceleração máxima usamos a relação do MHS entre aceleração e deslocamento. A aceleração instantânea é a=-\omega^{2}x, onde \omega é a frequência angular. A aceleração máxima em módulo ocorre no extremo e vale
a_{\max}=\omega^{2}A.
A frequência angular satisfaz \omega^{2}=k/m. Calcule:
\omega^{2}=\frac{k}{m}=\frac{315}{2{,}00}=157{,}5\\ \text{s}^{-2}.
Então
a_{\max}=\omega^{2}A=157{,}5\times0{,}376=59{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}
(arredondado para três algarismos significativos).

Passo 6

A força que a mola exerce é dada pela lei de Hooke: \vec{F}=-k\vec{x}. A magnitude máxima da força ocorre na amplitude e vale
F_{\max}=kA.
Calcule numericamente:
F_{\max}=315\times0{,}376=118{,}4\\ \mathrm{N}
(mais precisamente \approx118{,}6\\ \mathrm{N}, aqui apresentado com três dígitos significativos conforme enunciado).

Resposta

(a) 0,376\\ \mathrm{m}
(b) 59,2\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) 118,4\\ \mathrm{N}

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