Exercício1: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
\int 3 t \cos \left(3 t^{2}\right) d t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3\,t\cos\bigl(3t^{2}\bigr)\,dt
usando a técnica de substituição. Aqui a ideia é reconhecer uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando a função trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3t^{2}.
Então
du = 6t\,dt \quad\Longrightarrow\quad 3t\,dt = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int 3\,t\cos\bigl(3t^{2}\bigr)\,dt = \int \cos(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Integramos em u e depois voltamos a t:
\frac{1}{2}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\,\sin(u) + C = \frac{1}{2}\,\sin\bigl(3t^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\sin\bigl(3t^{2}\bigr) + C

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