Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{n} e W=\{v \in V \mid A v=b, A uma matrizm \times n e b uma matriz m \times 1\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^n e o conjunto
\;W = \{\,v\in V \mid A\,v = b\},
onde A é uma matriz m\times n e b é um vetor em \mathbb{R}^m. Queremos decidir se W é subespaço de V, usando a definição: um subconjunto W\subseteq V é subespaço se e só se
  1. 0\in W,
  2. u,v\in W\implies u+v\in W,
  3. u\in W,\;\alpha\in\mathbb{R}\implies \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos primeiro a condição 0\in W. Note que
A\,0 = 0 \in \mathbb{R}^m.
Logo 0\in W se e só se A\,0 = b, isto é, se e só se
0 = b.
Portanto, se b\neq 0, já falha a condição de conter o vetor zero, e W não pode ser subespaço.

Passo 3

Agora suponha b = 0. Então
W = \{\,v\mid A\,v = 0\}
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo. Vamos checar fechamento por soma e por múltiplo escalar:
  • Se u,v\in W, então A\,u = 0 e A\,v = 0. Assim
    A\,(u+v) = A\,u + A\,v = 0 + 0 = 0,
    logo u+v\in W.
  • Se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então
    A\,(\alpha u) = \alpha\,(A\,u) = \alpha\cdot 0 = 0,
    logo \alpha u\in W.
Portanto, quando b=0, W satisfaz todas as três propriedades e é subespaço de \mathbb{R}^n.

Passo 4

Quando b\neq 0, podemos dar um contra-exemplo simples para ver que W não é subespaço. Tome n=1, m=1,
A = [1],\quad b = [1].
Então
W = \{v\in\mathbb{R}\mid 1\cdot v = 1\} = \{1\}.
Claramente 0\notin W e, por exemplo, se 1\in W, então 1+1=2\notin W. Falha fechamento por soma e nem contém o zero, logo W não é subespaço.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^n se e somente se b=0. Se b=0, W é o núcleo de A e satisfaz a definição de subespaço; se b\neq0, W não contém o vetor zero e falha em ser fechado sob soma e produto escalar.

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