Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
uma matrizm
e
uma matriz
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o conjunto
onde
é uma matriz
e
é um vetor em
. Queremos decidir se
é subespaço de
, usando a definição: um subconjunto
é subespaço se e só se
-
, -
, -
.
Passo 2
Verificamos primeiro a condição
. Note que
Logo
se e só se
, isto é, se e só se
Portanto, se
, já falha a condição de conter o vetor zero, e
não pode ser subespaço.
Passo 3
Agora suponha
. Então
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo. Vamos checar fechamento por soma e por múltiplo escalar:
-
Se
, então e . Assim logo. -
Se
e , então logo.
Portanto, quando
,
satisfaz todas as três propriedades e é subespaço de
.
Passo 4
Quando
, podemos dar um contra-exemplo simples para ver que
não é subespaço. Tome
,
,
Então
Claramente
e, por exemplo, se
, então
. Falha fechamento por soma e nem contém o zero, logo
não é subespaço.