Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso vamos usar a definição de subespaço, que exige três condições:
-
. - Fechamento sob adição: se
então . - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e então .
Passo 2
Verificamos que
não está vazio observando o vetor nulo. Em
o vetor nulo é
, e nele temos
logo
. Assim
.
Passo 3
Agora mostramos o fechamento sob adição. Sejam
e
vetores em
. Então
A soma é
Como
, temos
Passo 4
Finalmente, checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, com
. Então
porque
. Logo
Resposta
Como
contém o vetor nulo, e é fechado tanto em adição quanto em multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.