Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{2} e W=\{(x, y) \mid y=3 x\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=3x\} é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^2. Para isso vamos usar a definição de subespaço, que exige três condições:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Fechamento sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos que W não está vazio observando o vetor nulo. Em \mathbb{R}^2 o vetor nulo é (0,0), e nele temos
0 \;=\;3\cdot 0,
logo (0,0)\in W. Assim W\neq\emptyset.

Passo 3

Agora mostramos o fechamento sob adição. Sejam (x_1,y_1) e (x_2,y_2) vetores em W. Então
y_1 = 3x_1 \quad\text{e}\quad y_2 = 3x_2.
A soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Como y_1+y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1+x_2), temos
(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(x_1+x_2,\;3(x_1+x_2)\bigr)\in W.

Passo 4

Finalmente, checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in W, com y=3x. Então
\alpha\,(x,y) = (\alpha x,\;\alpha y) = (\alpha x,\;3\alpha x)
porque \alpha y=\alpha\,(3x)=3(\alpha x). Logo
(\alpha x,\;3\alpha x)\in W.

Resposta

Como W contém o vetor nulo, e é fechado tanto em adição quanto em multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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