Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{2} e W=\{(x, y) \mid x=0 ou y=0\}.

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathbb{R}^2 e
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=0 \text{ ou } y=0\}.
O conteúdo aqui é definição de subespaço: para que W seja subespaço de V, precisamos mostrar que
  1. W não é vazio (contém o vetor zero),
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro que W não é vazio e que é fechado sob multiplicação escalar.
  1. O vetor zero (0,0) satisfaz x=0 e y=0, logo (0,0)\in W.
  2. Seja (x,y)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Se (x,y) satisfaz x=0, então \lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)=(0,\lambda y) também tem primeira componente zero, logo está em W. Se (x,y) satisfaz y=0, então \lambda(x,y)=(\lambda x,0) está em W. Assim, W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob soma. Tome
u=(1,0)\in W \quad\text{e}\quad v=(0,1)\in W.
Então
u+v = (1,0)+(0,1) = (1,1).
Em (1,1) temos x=1\ne0 e y=1\ne0, ou seja, (1,1)\notin W. Portanto W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^2, pois não satisfaz o fechamento sob soma de vetores (por exemplo, (1,0),(0,1)\in W mas (1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W).

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