Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
ou
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
O conteúdo aqui é definição de subespaço: para que
seja subespaço de
, precisamos mostrar que
-
não é vazio (contém o vetor zero), -
é fechado sob soma de vetores, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro que
não é vazio e que é fechado sob multiplicação escalar.
- O vetor zero
satisfaz e , logo . - Seja
e . Se satisfaz , então também tem primeira componente zero, logo está em . Se satisfaz , então está em . Assim, é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 3
Agora testamos o fechamento sob soma. Tome
Então
Em
temos
e
, ou seja,
. Portanto
não é fechado sob soma.