Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado diz que estamos em
e que
é o disco de raio 1 centrado na origem. Para que
seja um subespaço de
, é preciso verificar três propriedades:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob adição vetorial. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro se o vetor zero de
está em
. O vetor zero é
. Calculamos
logo
. A condição de não estar vazio e conter o zero está satisfeita.
Passo 3
Agora testamos a fechamento sob multiplicação escalar. Se
fosse subespaço, então para todo
e todo escalar
deveríamos ter
. Mas escolhemos
, que está em
pois
Suponha
. Então
e
Portanto
, o que viola a condição de fechamento escalar.
Passo 4
Como
falha em ser fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que
não é um subespaço de
.