Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{2} e W=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado diz que estamos em V=\mathbb{R}^2 e que
W = \{(x,y)\mid x^2+y^2 \le 1\}
é o disco de raio 1 centrado na origem. Para que W seja um subespaço de V, é preciso verificar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob adição vetorial.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro se o vetor zero de \mathbb{R}^2 está em W. O vetor zero é (0,0). Calculamos
0^2 + 0^2 = 0 \le 1,
logo (0,0)\in W. A condição de não estar vazio e conter o zero está satisfeita.

Passo 3

Agora testamos a fechamento sob multiplicação escalar. Se W fosse subespaço, então para todo \mathbf v\in W e todo escalar \lambda\in\mathbb{R} deveríamos ter \lambda\mathbf v\in W. Mas escolhemos
\mathbf v=(1,0), que está em W pois
1^2 + 0^2 = 1 \le 1.
Suponha \lambda=2. Então
2\mathbf v = (2,0)
e
2^2 + 0^2 = 4 \nleq 1.
Portanto (2,0)\notin W, o que viola a condição de fechamento escalar.

Passo 4

Como W falha em ser fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que W não é um subespaço de \mathbb{R}^2.

Resposta

W não é subespaço de V.

Exercícios relacionados