Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos decidir se
é um subespaço de
. Para isso, usamos a definição de subespaço:
- O vetor zero de
deve pertencer a . -
deve ser fechado sob soma de vetores. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
, temos
Logo, a condição de não vazio com o vetor nulo é satisfeita.
Passo 3
Agora, tomemos quaisquer dois vetores em
. Seja
com
. Então a soma é
Como as três componentes de
são iguais, concluímos que
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, verifiquemos o fechamento sob escalar. Seja
e
Então
e novamente todas as componentes são iguais. Logo
.