Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{3} e W=\{(x, y, z) \mid x=y=z\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e o subconjunto
W=\{(x,y,z)\mid x=y=z\}.
Queremos decidir se W é um subespaço de V. Para isso, usamos a definição de subespaço:
  1. O vetor zero de V deve pertencer a W.
  2. W deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como 0=0=0, temos
(0,0,0)\in W.
Logo, a condição de não vazio com o vetor nulo é satisfeita.

Passo 3

Agora, tomemos quaisquer dois vetores em W. Seja
u=(t,t,t)\in W, \quad v=(s,s,s)\in W,
com t,s\in\mathbb{R}. Então a soma é
u+v = (t+s,\;t+s,\;t+s).
Como as três componentes de u+v são iguais, concluímos que u+v\in W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, verifiquemos o fechamento sob escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(t,t,t)\in W.
Então
\alpha\,u = (\alpha t,\;\alpha t,\;\alpha t),
e novamente todas as componentes são iguais. Logo \alpha\,u\in W.

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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