Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
inteiro }).
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
e o subconjunto
Queremos saber se
é subespaço de
. Para isso, usamos a definição: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
. -
. -
.
Passo 2
Verificamos que
pois o vetor nulo
está em
, já que
.
Passo 3
Testamos a adição: sejam
e
em
. Por definição,
e
são inteiros. Então
Como a soma de inteiros é inteiro,
. Logo
, e
é fechado sob adição.
Passo 4
Testamos a multiplicação por escalar: seja
com
e
. Então
Para que
esteja em
, precisaríamos de
. Mas, em geral, se
é real qualquer e
inteiro,
não é inteiro. Por exemplo, tomemos
Então
porque
. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
falha em ser fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é subespaço de
.