Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{3} e W=\{(x, y, z) \mid z inteiro }).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
\;V = \mathbb{R}^3
e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z\in\mathbb{Z}\}.
Queremos saber se W é subespaço de V. Para isso, usamos a definição: um subconjunto W\subseteq V é subespaço se e somente se
  1. W\neq\emptyset.
  2. u,v\in W\implies u+v\in W.
  3. \alpha\in\mathbb{R},\,u\in W\implies \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos que W\neq\emptyset pois o vetor nulo (0,0,0) está em W, já que 0\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Testamos a adição: sejam (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em W. Por definição, z_1 e z_2 são inteiros. Então
(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como a soma de inteiros é inteiro, z_1+z_2\in\mathbb{Z}. Logo (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in W, e W é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar: seja (x,y,z)\in W com z\in\mathbb{Z} e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,(x,y,z) = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z).
Para que (\alpha x,\alpha y,\alpha z) esteja em W, precisaríamos de \alpha z\in\mathbb{Z}. Mas, em geral, se \alpha é real qualquer e z inteiro, \alpha z não é inteiro. Por exemplo, tomemos
(u,v) = (0,0,1)\in W \quad\text{e}\quad \alpha = \tfrac12.
Então
\tfrac12\,(0,0,1) = (0,0,\tfrac12)\notin W
porque \tfrac12\notin\mathbb{Z}. Assim, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W falha em ser fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois, por exemplo, \tfrac12\,(0,0,1)\notin W.

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