Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos decidir se
é subespaço de
. Para isso, usamos a definição: um subconjunto não vazio
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
temos
. Logo, a propriedade 1 está satisfeita.
Passo 3
Checamos a adição. Sejam
isto é,
Então
logo
também satisfaz a cadeia de desigualdades, ou seja,
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora testamos a multiplicação por escalar. Tome o vetor
porque
. Se
fosse subespaço, para todo escalar
teríamos
. Escolhendo, por exemplo,
, obtemos
Mas em
não vale
(pois
). Logo
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalar.