Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{3} e W=\{(x, y, z) \mid x \leq y=\leq z\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x \le y \le z\}.
Queremos decidir se W é subespaço de V. Para isso, usamos a definição: um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob adição;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como
0 \le 0 \le 0,
temos (0,0,0)\in W. Logo, a propriedade 1 está satisfeita.

Passo 3

Checamos a adição. Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W,
isto é,
x_1\le y_1\le z_1 \quad\text{e}\quad x_2\le y_2\le z_2.
Então
x_1+x_2 \;\le\; y_1+y_2 \quad\text{e}\quad y_1+y_2 \;\le\; z_1+z_2,
logo u+v = (x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2) também satisfaz a cadeia de desigualdades, ou seja, u+v\in W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora testamos a multiplicação por escalar. Tome o vetor
v = (1,2,3)\in W
porque 1 \le 2 \le 3. Se W fosse subespaço, para todo escalar \lambda teríamos \lambda v\in W. Escolhendo, por exemplo, \lambda = -1, obtemos
-1\cdot v = (-1,-2,-3).
Mas em (-1,-2,-3) não vale -1 \le -2 (pois -1 > -2). Logo -v\notin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3. Como exemplo, (1,2,3)\in W mas
-1\cdot(1,2,3)=(-1,-2,-3)\notin W.

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