Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=M_{2 \times 2} e W=\{A \mid A T=T A, T uma matriz fixada em V\}.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial das matrizes 2\times2 sobre um corpo (por exemplo, \mathbb{R}) e fixa uma matriz T\in V. Em seguida define
W = \{A\in V\mid AT = TA\},
isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com T. Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso usaremos a definição de subespaço:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Se A,B\in W então A+B\in W.
  3. Se A\in W e \lambda for escalar, então \lambda A\in W.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo explicitamente o elemento zero. A matriz zero 0 satisfaz
0\cdot T = 0 = T\cdot 0,
logo 0\in W. Assim W\neq\emptyset.

Passo 3

Verificamos a fechadura sob soma. Se A,B\in W, então
AT = TA \quad\text{e}\quad BT = TB.
Somando as duas igualdades, obtemos
( A + B )T = AT + BT = TA + TB = T(A + B),
logo A+B também comuta com T, ou seja, A+B\in W.

Passo 4

Verificamos a fechadura sob multiplicação por escalar. Seja \lambda um escalar e A\in W. Como AT=TA, multiplicando ambos os lados por \lambda vem
(\lambda A)T = \lambda(AT) = \lambda(TA) = T(\lambda A),
logo \lambda A\in W.

Resposta

W satisfaz as três condições da definição de subespaço e, portanto, é subespaço de V.

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