Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
uma matriz fixada em
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial das matrizes
sobre um corpo (por exemplo,
) e fixa uma matriz
. Em seguida define
isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com
. Queremos verificar se
é um subespaço de
. Para isso usaremos a definição de subespaço:
-
. - Se
então . - Se
e for escalar, então .
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo explicitamente o elemento zero. A matriz zero
satisfaz
logo
. Assim
.
Passo 3
Verificamos a fechadura sob soma. Se
, então
Somando as duas igualdades, obtemos
logo
também comuta com
, ou seja,
.
Passo 4
Verificamos a fechadura sob multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Como
, multiplicando ambos os lados por
vem
logo
.