Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão. V=M_{2 \times 2} e W o conjunto das matrizes anti-simétricas.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2\times2} (matrizes 2\times2 com entradas reais) e o subconjunto
W=\{A\in M_{2\times2}\mid A^{T}=-A\},
isto é, as matrizes antissimétricas. Queremos decidir se W é subespaço de V. Pela definição, basta mostrar que 1. a matriz zero pertence a W, 2. W é fechado sob soma, 3. W é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz
O^{T} = O = -O,
logo O \in W.
Passo 3
Sejam A,B\in W. Então
A^{T}=-A \quad\text{e}\quad B^{T}=-B.
Logo
(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=-A - B=-(A+B),
o que mostra que A+B\in W.
Passo 4
Seja \lambda\in\mathbb{R} e A\in W. Como A^{T}=-A, temos
(\lambda A)^{T}=\lambda\,A^{T}=\lambda(-A)=-\lambda A,