Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão. V=M_{2 \times 3} e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \right\rvert\, b=a+c\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2\times3} (todas as matrizes 2\times3 sobre um corpo, digamos \mathbb{R}) e o subconjunto
W = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b & c\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\Bigm| b = a + c\Bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos usar a definição:
W não pode ser vazio (tem de conter o vetor zero).
Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
Se \mathbf{u}\in W e k é escalar, então k\mathbf{u}\in W.
Passo 2
Verificar que o vetor zero de V está em W.
O vetor zero em M_{2\times3} é