Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=M_{2 \times 3} e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \right\rvert\, b=a+c\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2\times3} (todas as matrizes 2\times3 sobre um corpo, digamos \mathbb{R}) e o subconjunto
W = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b & c\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\Bigm| b = a + c\Bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos usar a definição:
  1. W não pode ser vazio (tem de conter o vetor zero).
  2. Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Se \mathbf{u}\in W e k é escalar, então k\mathbf{u}\in W.

Passo 2

Verificar que o vetor zero de V está em W.
O vetor zero em M_{2\times3} é
\mathbf{0} = \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
Aqui escolhemos a=0, c=0 e então b = a+c = 0+0=0. Logo \mathbf{0} satisfaz a condição b=a+c e \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Tomemos
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}a_2 & b_2 & c_2\\\ 0&0&0\end{pmatrix}
com b_1 = a_1 + c_1 e b_2 = a_2 + c_2. Então
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
Como b_1+b_2 = (a_1+c_1)+(a_2+c_2) = (a_1+a_2)+(c_1+c_2), a soma também satisfaz a condição do tipo b = a+c. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja \mathbf{u} = \begin{pmatrix}a & b & c\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\in W com b=a+c e seja k um escalar. Então
k\,\mathbf{u} = \begin{pmatrix}k\,a & k\,b & k\,c\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
Como k\,b = k\,(a+c) = k\,a + k\,c, a matriz k\,\mathbf{u} também satisfaz a condição b=a+c. Portanto k\,\mathbf{u}\in W.

Resposta

W é subespaço de V.

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