Nos exercícios 04 a
, calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor
do vetor
.
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função
no ponto indicado, na direção do versor
associado ao vetor
. Dados fornecidos:
- A função é
. - O ponto é
. - O vetor de direção é
, e a direção pedida é segundo o versor correspondente a .
A pergunta concreta: calcular a derivada direcional deem na direção do versor obtido a partir de .
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calcular:
- A derivada direcional de
em um ponto na direção do versor é o limite que mede a taxa de variação de ao longo da reta que parte de com direção . Matematicamente, se com , então a derivada direcional é
onde
é o gradiente de
e
indica o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Portanto, nosso plano: (i) calcular
e
, (ii) normalizar
para obter
, (iii) avaliar o gradiente em
e fazer o produto escalar com
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (usar regra da cadeia e produto):
- Para
: trata-se de diferenciar em relação a , onde é tratado como constante em relação a . A derivada de relativamente a é (por causa da regra da cadeia). Assim
- Para
: agora é constante em relação a . A derivada de relativamente a é . Portanto
Passo 4
Normalizar o vetor
para obter o versor
:
- Dado
, a norma é
- Logo o versor
na direção de é
Lembrete rápido: usamos o versor porque a derivada direcional padrão usa uma direção de comprimento 1; se fosse usado
sem normalizar, o resultado seria escalado pela norma de
.
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
- Calcular
e no ponto:
- Notar que
é coterminal com porque . Assim os valores trigonométricos são os mesmos que em :
- Portanto,
- Agora avaliar as parciais:
- Assim o gradiente no ponto é
Passo 6
Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar
:
- Usar
e . Então
- Calcule passo a passo:
- Simplificando
. Portanto a derivada direcional é .