Nos exercícios 04 a \mathbf{0 7}, calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor u do vetor v.
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x) \cos (2 y) ;(a, b)=(\pi / 6,-5 \pi / 6) ; v=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f no ponto indicado, na direção do versor u associado ao vetor v. Dados fornecidos:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sen}(2x)\cos(2y).
  • O ponto é \left(a,b\right)=\left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right).
  • O vetor de direção é v=(1,-1), e a direção pedida é segundo o versor u correspondente a v.
    A pergunta concreta: calcular a derivada direcional de f em \left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right) na direção do versor u obtido a partir de v.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calcular:
  • A derivada direcional de f em um ponto (a,b) na direção do versor u é o limite que mede a taxa de variação de f ao longo da reta que parte de (a,b) com direção u. Matematicamente, se u=(u_1,u_2) com \|u\|=1, então a derivada direcional é
D_{u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot indica o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Portanto, nosso plano: (i) calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}, (ii) normalizar v para obter u, (iii) avaliar o gradiente em (a,b) e fazer o produto escalar com u.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (usar regra da cadeia e produto):
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: trata-se de diferenciar \operatorname{sen}(2x)\cos(2y) em relação a x, onde \cos(2y) é tratado como constante em relação a x. A derivada de \operatorname{sen}(2x) relativamente a x é 2\cos(2x) (por causa da regra da cadeia). Assim
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2\cos(2x)\cos(2y).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: agora \operatorname{sen}(2x) é constante em relação a y. A derivada de \cos(2y) relativamente a y é -2\sin(2y). Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2\operatorname{sen}(2x)\sin(2y).

Passo 4

Normalizar o vetor v para obter o versor u:
  • Dado v=(1,-1), a norma é
\|v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Logo o versor u na direção de v é
u=\dfrac{v}{\|v\|}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Lembrete rápido: usamos o versor porque a derivada direcional padrão usa uma direção de comprimento 1; se fosse usado v sem normalizar, o resultado seria escalado pela norma de v.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto \left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right):
  • Calcular 2x e 2y no ponto:
2a=2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3},\qquad 2b=2\cdot\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{5\pi}{3}.
  • Notar que -\dfrac{5\pi}{3} é coterminal com \dfrac{\pi}{3} porque -\dfrac{5\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi}{3}. Assim os valores trigonométricos são os mesmos que em \dfrac{\pi}{3}:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Portanto,
\cos(2a)=\dfrac{1}{2},\qquad \cos(2b)=\dfrac{1}{2},
\sin(2a)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(2b)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Agora avaliar as parciais:
\dfrac{\partial f}{\partial x}\!\left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
\dfrac{\partial f}{\partial y}\!\left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{2}.
  • Assim o gradiente no ponto é
\boxed{\nabla f\!\left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}\right).}

Passo 6

Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar \nabla f(a,b)\cdot u:
  • Usar \nabla f(a,b)=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}\right) e u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right). Então
D_{u}f\!\left(\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Calcule passo a passo:
\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\right)\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}.
  • Simplificando \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Portanto a derivada direcional é \sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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