Encontre e faça um esboço ou gráfico de f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
s^{-2}-\left(s^{-2}+s^{-1}\right) e^{-s}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de f(t) como
\mathscr{L}\{f\}(s)=s^{-2}-\bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)e^{-s}.
O que é pedido:
  • Encontrar f(t), ou seja, calcular a transformada inversa de Laplace dessa expressão.
  • Fazer um esboço/gráfico de f(t).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A expressão é dada em termos de potências de s e de um fator e^{-s}.
  • Presume-se função causal (ou seja, f(t)=0 para t<0), conforme uso usual da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos lembrar algumas transformadas básicas e uma propriedade importante (vou explicar como e porquê elas são verdadeiras, passo a passo).
  1. Transformadas básicas:
  • A transformada de Laplace de 1 é
\mathscr{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,1\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Logo \mathscr{L}^{-1}\{s^{-1}\}=1.
  • A transformada de Laplace de t é (uso integração por partes):
\mathscr{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}t\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{-st}dt
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Logo \mathscr{L}^{-1}\{s^{-2}\}=t.
  1. Linearidade:
    A transformada de Laplace é linear, então podemos inverter cada termo separadamente.
  2. Teorema do deslocamento no tempo (regra do degrau unitário):
    Se \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=G(s) e a>0, então
\mathscr{L}\{u(t-a)g(t-a)\}(s)=e^{-as}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada. Isso quer dizer que um fator e^{-as} na imagem corresponde a atrasar a função no tempo e multiplica-la pelo degrau para que seja zero antes de t=a. Na inversa: \mathscr{L}^{-1}\{e^{-as}G(s)\}=u(t-a)g(t-a).

Passo 3

Separe a expressão usando linearidade:
\mathscr{L}\{f\}(s)=s^{-2}-\bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)e^{-s}.
Isto é a diferença entre dois termos:
  • Primeiro termo: s^{-2}.
  • Segundo termo: \bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)e^{-s}.
Vamos inverter cada um.

Passo 4

Inversa do primeiro termo: já sabemos que
\mathscr{L}^{-1}\{s^{-2}\}(t)=t
para t\ge 0, e 0 para t<0 (causalidade).

Passo 5

Inversa do segundo termo: considere H(s)=s^{-2}+s^{-1}.
Usando o que vimos no Passo 2,
\mathscr{L}^{-1}\{s^{-2}\}(t)=t,\qquad \mathscr{L}^{-1}\{s^{-1}\}(t)=1,
logo, por linearidade,
\mathscr{L}^{-1}\{H(s)\}(t)=t+1.
Agora aplique o teorema do deslocamento com a=1: como o segundo termo é H(s)e^{-1\cdot s}, sua inversa é
\mathscr{L}^{-1}\{H(s)e^{-s}\}(t)=u(t-1)\,H(t-1).
Aqui H(t-1) é simplesmente a função t+1 substituída por t\mapsto t-1:
H(t-1)=(t-1)+1=t.
Portanto
\mathscr{L}^{-1}\{\bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)e^{-s}\}(t)=u(t-1)\,t.

Passo 6

Combine os resultados (lembre do sinal negativo do segundo termo):
f(t)=t - u(t-1)\,t.
Podemos escrever isso por partes, lembrando que u(t-1)=0 para t<1 e u(t-1)=1 para t>1 (e geralmente tomamos u(0)=1 ou 1/2, mas isso não muda a função quase em toda parte):
  • Para t<0: por causalidade, f(t)=0.
  • Para 0\le t<1: u(t-1)=0, então f(t)=t.
  • Para t\ge 1: u(t-1)=1, então f(t)=t-t=0.
Assim, de forma limpa:
f(t)=\begin{cases} 0,& t<0,\\[4pt] t,& 0\le t<1,\\[4pt] 0,& t\ge 1. \end{cases}]

Passo 7

Interpretação e esboço do gráfico (vou descrever como desenhar, passo a passo, para você riscar na folha):
  • Para t<0: a curva fica em zero (eixo t à esquerda do zero).
  • De t=0 até t=1: a função é uma rampa linear crescente, f(t)=t. Então em t=0 temos f(0)=0; em t=1^{-} temos f(1^{-})=1.
  • Em t=1 ocorre uma queda instantânea (salto) de 1 para 0: f(1^{+})=0.
  • Para t>1: a função permanece em zero.
Esboço (descritivo):
  • Desenhe o eixo horizontal t e vertical f.
  • Trace a reta f=t apenas no intervalo [0,1).
  • Marque o ponto aberto em (1,1) e o ponto fechado em (1,0) (ou apenas mostre o salto).
  • Para t<0 e t>1 deixe a curva em zero.
Você pode pensar nisso como uma rampa “cortada” em t=1: sobe linear até 1 e depois volta para zero.

Resposta

f(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1. \end{cases}]

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