Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{-st}dt dá
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Logo \mathscr{L}^{-1}\{s^{-2}\}=t.
Linearidade:
A transformada de Laplace é linear, então podemos inverter cada termo separadamente.
Teorema do deslocamento no tempo (regra do degrau unitário):
Se \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=G(s) e a>0, então
\mathscr{L}\{u(t-a)g(t-a)\}(s)=e^{-as}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada. Isso quer dizer que um fator e^{-as} na imagem corresponde a atrasar a função no tempo e multiplica-la pelo degrau para que seja zero antes de t=a. Na inversa: \mathscr{L}^{-1}\{e^{-as}G(s)\}=u(t-a)g(t-a).
Combine os resultados (lembre do sinal negativo do segundo termo):
f(t)=t - u(t-1)\,t.
Podemos escrever isso por partes, lembrando que u(t-1)=0 para t<1 e u(t-1)=1 para t>1 (e geralmente tomamos u(0)=1 ou 1/2, mas isso não muda a função quase em toda parte):