Representar graficamente os seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y)=2 \vec{\imath}-\vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial dado por \vec{F}(x,y)=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\vec{F}(x,y)=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}.
O que precisa ser entregue: uma descrição clara de como desenhar esse campo (ou sua representação) no plano.

Passo 2

O que é representar graficamente um campo vetorial?
Um campo vetorial em duas variáveis associa a cada ponto (x,y) do plano um vetor. Na prática, para desenhar um campo vetorial:
  • em vários pontos escolhidos do plano (por exemplo, pontos de uma grade), colocamos a cauda do vetor naquele ponto;
  • desenhamos a seta do vetor seguindo as componentes dadas, isto é, se em (x,y) o vetor é \langle a,b\rangle, a ponta fica em (x+a,y+b);
  • repetimos isso em vários pontos para visualizar o padrão.

Passo 3

Avalio o campo dado explicitamente em um ponto genérico (x,y).
Calculo:
\vec{F}(x,y)=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}=\langle 2,-1\rangle.
Observação importante: esse resultado não depende de (x,y). Ou seja, o campo é constante — em todo ponto do plano o vetor é o mesmo \langle 2,-1\rangle.

Passo 4

Vou extrair informações úteis para o desenho: magnitude e direção do vetor \langle 2,-1\rangle.
Magnitude:
\|\vec{F}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}.
Direção (ângulo com o eixo x, medido no sentido padrão):
\theta=\arctan\!\left(\frac{-1}{2}\right)\approx -26,57^\circ.
Interpretação: todos os vetores apontam para baixo e à direita com inclinação de aproximadamente -26,57^\circ e comprimento \sqrt{5}.

Passo 5

Como desenhar no papel (passo a passo prático):
  • trace uma grade de pontos (por exemplo, pontos inteiros (m,n) com m,n\in\mathbb{Z});
  • em cada ponto (x,y) da grade desenhe um vetor cuja ponta esteja em (x+2,y-1) (isto é, deslocamento \langle 2,-1\rangle);
  • se os vetores ficarem muito longos ou sobrepostos, escolha um fator de escala s\in(0,1] e desenhe vetores de deslocamento s\langle 2,-1\rangle=\langle 2s,-s\rangle. Por exemplo, com s=\tfrac12 desenhe de (x,y) até (x+1,y-0,5).

Passo 6

Exemplos concretos de setas para você copiar no rascunho (sem escala, ponta = (x+2,y-1)):
  • cauda em (0,0) → ponta em (2,-1);
  • cauda em (1,0) → ponta em (3,-1);
  • cauda em (0,1) → ponta em (2,0);
  • cauda em (-1,0) → ponta em (1,-1);
  • cauda em (1,1) → ponta em (3,0);
  • cauda em (-1,1) → ponta em (1,0).
    Se usar escala s=\tfrac12, divida os incrementos por 2 (ex.: de (0,0) até (1,-0,5)).

Passo 7

Informação adicional útil: as linhas integrais (linhas de corrente) do campo são retas paralelas, porque o campo é constante. Resolvo rapidamente o sistema para as linhas integrais:
\frac{dx}{dt}=2,\qquad \frac{dy}{dt}=-1.
Integrando: x=2t+C_1, y=-t+C_2. Eliminando t obtemos a família de retas
y=-\tfrac{1}{2}x+C,
ou seja, as linhas de corrente são retas de coeficiente angular -\tfrac{1}{2}, paralelas entre si e perpendiculares ao conjunto de vetores normais correspondentes.

Resposta

Campo constante: \vec{F}(x,y)=\langle 2,-1\rangle. Desenhar, em cada ponto (x,y) da grade, a seta de cauda em (x,y) e ponta em (x+2,y-1) (ou, se desejar, usar escala s e ponta em (x+2s,y-s)). Magnitude \sqrt{5}. Direção \theta=\arctan\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)\approx -26,57^\circ. Linhas de corrente: y=-\tfrac{1}{2}x+C.

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