Representar graficamente os seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial dado por
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
.
O que precisa ser entregue: uma descrição clara de como desenhar esse campo (ou sua representação) no plano.
Informações fornecidas pelo enunciado:
O que precisa ser entregue: uma descrição clara de como desenhar esse campo (ou sua representação) no plano.
Passo 2
O que é representar graficamente um campo vetorial?
Um campo vetorial em duas variáveis associa a cada ponto do plano um vetor. Na prática, para desenhar um campo vetorial:
Um campo vetorial em duas variáveis associa a cada ponto
- em vários pontos escolhidos do plano (por exemplo, pontos de uma grade), colocamos a cauda do vetor naquele ponto;
- desenhamos a seta do vetor seguindo as componentes dadas, isto é, se em
o vetor é , a ponta fica em ; - repetimos isso em vários pontos para visualizar o padrão.
Passo 3
Avalio o campo dado explicitamente em um ponto genérico
.
Calculo:
Calculo:
Observação importante: esse resultado não depende de
. Ou seja, o campo é constante — em todo ponto do plano o vetor é o mesmo
.
Passo 4
Vou extrair informações úteis para o desenho: magnitude e direção do vetor
.
Magnitude:
Magnitude:
Direção (ângulo com o eixo
, medido no sentido padrão):
Interpretação: todos os vetores apontam para baixo e à direita com inclinação de aproximadamente
e comprimento
.
Passo 5
Como desenhar no papel (passo a passo prático):
- trace uma grade de pontos (por exemplo, pontos inteiros
com ); - em cada ponto
da grade desenhe um vetor cuja ponta esteja em (isto é, deslocamento ); - se os vetores ficarem muito longos ou sobrepostos, escolha um fator de escala
e desenhe vetores de deslocamento . Por exemplo, com desenhe de até .
Passo 6
Exemplos concretos de setas para você copiar no rascunho (sem escala, ponta =
):
- cauda em
→ ponta em ; - cauda em
→ ponta em ; - cauda em
→ ponta em ; - cauda em
→ ponta em ; - cauda em
→ ponta em ; - cauda em
→ ponta em .
Se usar escala, divida os incrementos por (ex.: de até ).
Passo 7
Informação adicional útil: as linhas integrais (linhas de corrente) do campo são retas paralelas, porque o campo é constante. Resolvo rapidamente o sistema para as linhas integrais:
Integrando:
,
. Eliminando
obtemos a família de retas
ou seja, as linhas de corrente são retas de coeficiente angular
, paralelas entre si e perpendiculares ao conjunto de vetores normais correspondentes.
Resposta
Campo constante:
. Desenhar, em cada ponto
da grade, a seta de cauda em
e ponta em
(ou, se desejar, usar escala
e ponta em
). Magnitude
. Direção
. Linhas de corrente:
.