Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{tg}^{-1} \frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
e pede:
(a) D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x duas vezes);
(b) D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y duas vezes);
(c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (as derivadas mistas coincidem).
Informações relevantes:
  • A função usa \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), portanto o domínio natural aqui é todos os pares (x,y) com x\neq0 (para evitar divisão por zero). Trabalhamos para x\neq0.
  • Vamos precisar das regras de derivação: regra do produto (para (x^2+y^2)\cdot\arctan(y/x)) e regra da cadeia (para \arctan(y/x)).
  • É útil calcular primeiro as derivadas parciais de \theta(x,y):=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e as primeiras derivadas parciais de f; a partir daí obtemos as segundas.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de \theta(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
Usando a regra da cadeia: se \theta=\arctan(t) então \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Aqui t=\dfrac{y}{x}. Assim,
\frac{\partial\theta}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{\partial\theta}{\partial x} = \frac{-y/x^{2}}{1+y^{2}/x^{2}} = \frac{-y/x^{2}}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}} = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Analogamente, para \partial\theta/\partial y:
\frac{\partial\theta}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1/x}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto temos, para x\neq0,
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Cálculo das primeiras derivadas parciais de f. Use a regra do produto para f=(x^{2}+y^{2})\theta com \theta=\arctan(y/x).
Derivando em x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})\cdot\theta+(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{\partial\theta}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x. Substituindo \partial\theta/\partial x do Passo 2,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+(x^{2}+y^{2})\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right).
O segundo termo simplifica para -y, então
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=2x\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-y.}
Derivando em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})\cdot\theta+(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{\partial\theta}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y. Substituindo \partial\theta/\partial y,
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+(x^{2}+y^{2})\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
O segundo termo simplifica para x, então
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}=2y\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+x.}

Passo 4

Cálculo de D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
Temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\theta-y. Derivando em x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x\theta\big)-\frac{\partial y}{\partial x}.
Como y é constante ao derivar em x, \partial y/\partial x=0. Para \partial(2x\theta)/\partial x usamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(2x\theta)=2\theta+2x\frac{\partial\theta}{\partial x}.
Substituindo \partial\theta/\partial x=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} do Passo 2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+2x\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right).
Portanto, em forma simplificada,
\boxed{D_{11}f(x,y)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 5

Cálculo de D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Temos \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\theta+x. Derivando em y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2y\theta\big)+\frac{\partial x}{\partial y}.
Como x é constante ao derivar em y, \partial x/\partial y=0. Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial y}(2y\theta)=2\theta+2y\frac{\partial\theta}{\partial y}.
Substituindo \partial\theta/\partial y=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+2y\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Logo,
\boxed{D_{22}f(x,y)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 6

Cálculo de D_{12}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
Usamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\theta-y. Derivando em y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2x\theta)-\frac{\partial y}{\partial y}.
Aqui \partial y/\partial y=1. E 2x é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}(2x\theta)=2x\frac{\partial\theta}{\partial y}.
Substituindo \partial\theta/\partial y=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} =2x\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)-1 =\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}-1.
Colocando em uma fração única:
\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}-1 =\frac{2x^{2}-(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\boxed{D_{12}f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 7

Cálculo de D_{21}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) e conclusão da igualdade das mistas.
Usando \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\theta+x. Derivando em x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2y\theta)+\frac{\partial x}{\partial x}.
Aqui \partial x/\partial x=1 e 2y é constante em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}(2y\theta)=2y\frac{\partial\theta}{\partial x}.
Substituindo \partial\theta/\partial x=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} =2y\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)+1 =1-\frac{2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Colocando em uma fração única:
1-\frac{2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\boxed{D_{21}f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.}
Comparando com o resultado do Passo 6, obtemos
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
para x\neq0. Assim as derivadas mistas coincidem.

Passo 8

Recapitulando de forma clara (e um empurrãozinho motivacional: ficou bem elegante como as simplificações cancelaram termos!). As fórmulas finais encontradas são as do Passo 4, Passo 5 e Passo 6/7; as derivadas mistas coincidem e valem \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

D_{11}f(x,y)=2\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)-\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
D_{22}f(x,y)=2\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

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