Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) (segunda derivada parcial em relação a
duas vezes);
(b) (segunda derivada parcial em relação a
duas vezes);
(c) mostrar que (as derivadas mistas coincidem).
(a)
(b)
(c) mostrar que
Informações relevantes:
- A função usa
, portanto o domínio natural aqui é todos os pares com (para evitar divisão por zero). Trabalhamos para . - Vamos precisar das regras de derivação: regra do produto (para
) e regra da cadeia (para ). - É útil calcular primeiro as derivadas parciais de
e as primeiras derivadas parciais de ; a partir daí obtemos as segundas.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais de
.
Usando a regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Assim,
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Agora simplificamos a fração:
Analogamente, para
:
Portanto temos, para
,
Passo 3
Cálculo das primeiras derivadas parciais de
. Use a regra do produto para
com
.
Derivando em
:
Aqui
. Substituindo
do Passo 2,
O segundo termo simplifica para
, então
Derivando em
:
Aqui
. Substituindo
,
O segundo termo simplifica para
, então
Passo 4
Cálculo de
.
Temos
. Derivando em
:
Como
é constante ao derivar em
,
. Para
usamos a regra do produto:
Substituindo
do Passo 2,
Portanto, em forma simplificada,
Passo 5
Cálculo de
.
Temos
. Derivando em
:
Como
é constante ao derivar em
,
. Pela regra do produto,
Substituindo
,
Logo,
Passo 6
Cálculo de
.
Usamos
. Derivando em
:
Aqui
. E
é constante em relação a
, então
Substituindo
,
Colocando em uma fração única:
Portanto
Passo 7
Cálculo de
e conclusão da igualdade das mistas.
Usando
. Derivando em
:
Aqui
e
é constante em relação a
, então
Substituindo
,
Colocando em uma fração única:
Portanto
Comparando com o resultado do Passo 6, obtemos
para
. Assim as derivadas mistas coincidem.
Passo 8
Recapitulando de forma clara (e um empurrãozinho motivacional: ficou bem elegante como as simplificações cancelaram termos!). As fórmulas finais encontradas são as do Passo 4, Passo 5 e Passo 6/7; as derivadas mistas coincidem e valem
.