Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) achar
(segunda derivada parcial em relação a ); - (b) achar
(segunda derivada parcial em relação a ); - (c) mostrar que
(as derivadas mistas são iguais).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
em termos de
e
, que permite calcular derivadas parciais simplesmente usando regras usuais de derivação (regra da cadeia para
e derivadas de
e
).
Passo 2
O que significa cada notação e a estratégia para calcular:
-
ou é a derivada parcial de em relação a : diferenciar em relação a considerando constante. -
ou é a derivada parcial de em relação a : diferenciar em relação a considerando constante. -
significa aplicar duas vezes: . -
significa aplicar duas vezes. -
significa primeiro e depois ; é o oposto.
Regras que usaremos (lembrando de forma simples):
- Derivada de
em relação a : (regra da cadeia). - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : . - Quando diferenciamos em relação a
, tratamos como constante (e vice-versa).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (passo preparatório):
- Diferenciando
em relação a (fixando ): Aqui é constante, então saímos com multiplicando a derivada de . Aplicando a regra da cadeia: Portanto - Diferenciando
em relação a (fixando ): Agora é constante em relação a , e . Logo
Passo 4
Calcular
(segunda derivada em
):
- Partimos de
. - Diferenciando
em relação a novamente (a continua sendo constante): A constante multiplica , e , então
Passo 5
Calcular
(segunda derivada em
):
- Partimos de
. - Diferenciando
em relação a (com constante): Como , obtemos
Passo 6
Calcular as derivadas mistas
e
e comparar:
- Primeiro
: derivar em relação a : Aqui é constante em , e . Assim - Agora
: derivar em relação a : Como é constante quando derivamos em , usamos e obtemos - Conclusão:
e , portanto são iguais.
Observação conceitual rápida (para ganhar confiança na prova): aqui a função
é suave (toda composta por exponencial e seno), então as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas; pelo teorema de Clairaut (ou Schwartz) as derivadas mistas são iguais. Mas no exame é seguro e elegante calcular diretamente como fizemos para mostrar a igualdade de forma explícita.
Resposta
(a)
(b)
(c)