Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=e^{2 x} \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{2x}\operatorname{sen}y e pede três coisas:
  • (a) achar D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x);
  • (b) achar D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y);
  • (c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (as derivadas mistas são iguais).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f em termos de x e y, que permite calcular derivadas parciais simplesmente usando regras usuais de derivação (regra da cadeia para e^{2x} e derivadas de \sin e \cos).

Passo 2

O que significa cada notação e a estratégia para calcular:
  • D_1 f ou f_x é a derivada parcial de f em relação a x: diferenciar f em relação a x considerando y constante.
  • D_2 f ou f_y é a derivada parcial de f em relação a y: diferenciar f em relação a y considerando x constante.
  • D_{11}f=f_{xx} significa aplicar \partial/\partial x duas vezes: f_{xx}=\partial^2 f/\partial x^2.
  • D_{22}f=f_{yy} significa aplicar \partial/\partial y duas vezes.
  • D_{12}f=f_{xy} significa primeiro \partial/\partial x e depois \partial/\partial y; D_{21}f=f_{yx} é o oposto.
Regras que usaremos (lembrando de forma simples):
  • Derivada de e^{u(x)} em relação a x: \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x) (regra da cadeia).
  • Derivada de \sin y em relação a y: \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
  • Derivada de \cos y em relação a y: \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y.
  • Quando diferenciamos em relação a x, tratamos y como constante (e vice-versa).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (passo preparatório):
  • Diferenciando f(x,y)=e^{2x}\sin y em relação a x (fixando y): f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x}\sin y\big).Aqui \sin y é constante, então saímos com \sin y multiplicando a derivada de e^{2x}. Aplicando a regra da cadeia: \frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot(2)=2e^{2x}.Portanto f_x(x,y)=2e^{2x}\sin y.
  • Diferenciando f em relação a y (fixando x): f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x}\sin y\big).Agora e^{2x} é constante em relação a y, e \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y. Logo f_y(x,y)=e^{2x}\cos y.

Passo 4

Calcular D_{11}f=f_{xx} (segunda derivada em x):
  • Partimos de f_x(x,y)=2e^{2x}\sin y.
  • Diferenciando f_x em relação a x novamente (a \sin y continua sendo constante): f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(2e^{2x}\sin y\big).A constante 2\sin y multiplica e^{2x}, e \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, então f_{xx}(x,y)=2\sin y\cdot(2e^{2x})=4e^{2x}\sin y.

Passo 5

Calcular D_{22}f=f_{yy} (segunda derivada em y):
  • Partimos de f_y(x,y)=e^{2x}\cos y.
  • Diferenciando f_y em relação a y (com e^{2x} constante): f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x}\cos y\big).Como \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y, obtemos f_{yy}(x,y)=e^{2x}\cdot(-\sin y)=-e^{2x}\sin y.

Passo 6

Calcular as derivadas mistas D_{12}f=f_{xy} e D_{21}f=f_{yx} e comparar:
  • Primeiro f_{xy}: derivar f_x(x,y)=2e^{2x}\sin y em relação a y: f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2e^{2x}\sin y\big).Aqui 2e^{2x} é constante em y, e \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y. Assim f_{xy}(x,y)=2e^{2x}\cos y.
  • Agora f_{yx}: derivar f_y(x,y)=e^{2x}\cos y em relação a x: f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x}\cos y\big).Como \cos y é constante quando derivamos em x, usamos \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x} e obtemos f_{yx}(x,y)=2e^{2x}\cos y.
  • Conclusão: f_{xy}(x,y)=2e^{2x}\cos y e f_{yx}(x,y)=2e^{2x}\cos y, portanto são iguais.
Observação conceitual rápida (para ganhar confiança na prova): aqui a função f é suave (toda composta por exponencial e seno), então as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas; pelo teorema de Clairaut (ou Schwartz) as derivadas mistas são iguais. Mas no exame é seguro e elegante calcular diretamente como fizemos para mostrar a igualdade de forma explícita.

Resposta

(a) D_{11}f(x,y)=4e^{2x}\sin y
(b) D_{22}f(x,y)=-e^{2x}\sin y
(c) D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=2e^{2x}\cos y

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