Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- (a) achar
(segunda derivada parcial em relação a duas vezes); - (b) achar
(segunda derivada parcial em relação a duas vezes); - (c) mostrar que
(igualdade das mistas).
Observações sobre domínio (úteis para justificarmos continuidade das derivadas):
exige
(ou seja,
,
e mesmos sinais). A exponencial
exige
. Portanto trabalhar-se-á em regiões onde
,
e
.
Passo 2
Primeiro derivamos
em relação a
(tratando
como constante). Vou lembrar as regras que uso:
- Regra da cadeia: se
depende de , então . -
e, portanto, com constante, .
Aplicando ao primeiro termo: ponha
. Então
. Assim
Somando a derivada do logaritmo, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
. Derivamos termo a termo:
- Para
: é constante, então o coeficiente sai e aplicamos regra da cadeia de novo:
- Para
: (porque ).
Somando:
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
(tratando
como constante). Novamente uso a regra da cadeia para o exponencial e a regra do logaritmo:
- Para
: ponha . Então
Logo
- Para
: com constante, .
Portanto
Passo 5
Calculamos
. Derivamos o termo
(produto em
) e o termo
:
Seja e
. Então
Seja
(conforme cálculo do passo anterior).
Aplicando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Derivada de
é
. Assim
Opcionalmente pode-se fatorar
, se quiser.
Passo 6
Agora calculamos a mista
. Lembrando
só o primeiro termo depende de
. Seja
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Colocando em forma única:
Passo 7
Calculamos a outra mista
. Lembrando
só o primeiro termo depende de
. Trate
e
(aqui
é constante):
Aplicando produto:
Isto simplifica para
Passo 8
Comparando os resultados de
e
vemos que são idênticos:
Isso também está de acordo com o teorema de Clairaut (a igualdade das mistas) porque as segundas derivadas que obtivemos são combinações de funções racionais e exponenciais que são contínuas no domínio indicado (
,
e
), logo as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas aí e a igualdade vale.