Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=e^{-x / y}+\ln \frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{-x/y}+\ln\!\left(\frac{y}{x}\right)
e pede:
  • (a) achar D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x duas vezes);
  • (b) achar D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y duas vezes);
  • (c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (igualdade das mistas).
Observações sobre domínio (úteis para justificarmos continuidade das derivadas): \ln(y/x) exige \dfrac{y}{x}>0 (ou seja, x\neq0, y\neq0 e mesmos sinais). A exponencial e^{-x/y} exige y\neq0. Portanto trabalhar-se-á em regiões onde x\neq0, y\neq0 e \dfrac{y}{x}>0.

Passo 2

Primeiro derivamos f em relação a x (tratando y como constante). Vou lembrar as regras que uso:
  • Regra da cadeia: se u(x) depende de x, então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x).
  • \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} e, portanto, com y constante, \dfrac{\partial}{\partial x}\ln\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln y-\ln x)=-\dfrac{1}{x}.
Aplicando ao primeiro termo: ponha u(x)=-\dfrac{x}{y}. Então u'(x)=-\dfrac{1}{y}. Assim
\frac{\partial}{\partial x}e^{-x/y}=e^{-x/y}\left(-\frac{1}{y}\right)=-\frac{1}{y}e^{-x/y}.
Somando a derivada do logaritmo, obtemos
D_1 f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{y}e^{-x/y}-\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_1 f(x,y)\big). Derivamos termo a termo:
  • Para -\dfrac{1}{y}e^{-x/y}: y é constante, então o coeficiente -\dfrac{1}{y} sai e aplicamos regra da cadeia de novo:
\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{y}e^{-x/y}\right)=-\frac{1}{y}\cdot e^{-x/y}\left(-\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{y^{2}}e^{-x/y}.
  • Para -\dfrac{1}{x}: \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x^{2}} (porque \dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x^{2}}).
Somando:
D_{11}f(x,y)=\frac{1}{y^{2}}e^{-x/y}+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos f em relação a y (tratando x como constante). Novamente uso a regra da cadeia para o exponencial e a regra do logaritmo:
  • Para e^{-x/y}: ponha u(y)=-\dfrac{x}{y}. Então
\frac{du}{dy} = -x\cdot\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y}\right) = -x\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)=\frac{x}{y^{2}}.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}e^{-x/y}=e^{-x/y}\cdot\frac{x}{y^{2}}=\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}.
  • Para \ln\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\ln y-\ln x: com x constante, \dfrac{\partial}{\partial y}\ln y=\dfrac{1}{y}.
Portanto
D_2 f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}+\frac{1}{y}.

Passo 5

Calculamos D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_2 f(x,y)\big). Derivamos o termo \dfrac{x}{y^{2}}e^{-x/y} (produto em y) e o termo \dfrac{1}{y}:
Seja a(y)=\dfrac{x}{y^{2}} e b(y)=e^{-x/y}. Então
a'(y)=x\cdot(-2)y^{-3}=-\frac{2x}{y^{3}}, \qquad b'(y)=\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}
(conforme cálculo do passo anterior).
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}\right)=a'(y)b(y)+a(y)b'(y) =-\frac{2x}{y^{3}}e^{-x/y}+\frac{x}{y^{2}}\cdot\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}.
Simplificando:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}\right) =\left(\frac{x^{2}}{y^{4}}-\frac{2x}{y^{3}}\right)e^{-x/y}.
Derivada de \dfrac{1}{y} é -\dfrac{1}{y^{2}}. Assim
D_{22}f(x,y)=\left(\frac{x^{2}}{y^{4}}-\frac{2x}{y^{3}}\right)e^{-x/y}-\frac{1}{y^{2}}.
Opcionalmente pode-se fatorar \dfrac{x e^{-x/y}}{y^{4}}(x-2y)-\dfrac{1}{y^{2}}, se quiser.

Passo 6

Agora calculamos a mista D_{12}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_1 f(x,y)\big). Lembrando
D_1 f(x,y)=-\frac{1}{y}e^{-x/y}-\frac{1}{x},
só o primeiro termo depende de y. Seja c(y)=-\dfrac{1}{y} e d(y)=e^{-x/y}. Então
c'(y)=\frac{1}{y^{2}},\qquad d'(y)=\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{y}e^{-x/y}\right)=c'(y)d(y)+c(y)d'(y) =\frac{1}{y^{2}}e^{-x/y}-\frac{1}{y}\cdot\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}.
Colocando em forma única:
D_{12}f(x,y)=\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{x}{y^{3}}\right)e^{-x/y} =\frac{y-x}{y^{3}}e^{-x/y}.

Passo 7

Calculamos a outra mista D_{21}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_2 f(x,y)\big). Lembrando
D_2 f(x,y)=\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}+\frac{1}{y},
só o primeiro termo depende de x. Trate a(x)=\dfrac{x}{y^{2}} e b(x)=e^{-x/y} (aqui y é constante):
a'(x)=\frac{1}{y^{2}},\qquad b'(x)=-\frac{1}{y}e^{-x/y}.
Aplicando produto:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y^{2}}e^{-x/y}\right)=\frac{1}{y^{2}}e^{-x/y}+\frac{x}{y^{2}}\left(-\frac{1}{y}e^{-x/y}\right).
Isto simplifica para
D_{21}f(x,y)=\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{x}{y^{3}}\right)e^{-x/y}=\frac{y-x}{y^{3}}e^{-x/y}.

Passo 8

Comparando os resultados de D_{12}f(x,y) e D_{21}f(x,y) vemos que são idênticos:
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=\frac{y-x}{y^{3}}e^{-x/y}.
Isso também está de acordo com o teorema de Clairaut (a igualdade das mistas) porque as segundas derivadas que obtivemos são combinações de funções racionais e exponenciais que são contínuas no domínio indicado ( x\neq0, y\neq0 e y/x>0), logo as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas aí e a igualdade vale.

Resposta

D_{11}f(x,y)=\dfrac{1}{y^{2}}e^{-x/y}+\dfrac{1}{x^{2}}
D_{22}f(x,y)=\left(\dfrac{x^{2}}{y^{4}}-\dfrac{2x}{y^{3}}\right)e^{-x/y}-\dfrac{1}{y^{2}}
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=\dfrac{y-x}{y^{3}}e^{-x/y}

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