Um monopolista comercializa barris de 30 litros de chopp em dois segmentos de mercado com preferências diferentes. As funções de demanda para os mercados são: \mathrm{Qa}=1000-\mathrm{P} \rightarrow função de demanda mensal de barris de chopp do segmento A ; \mathrm{Qb}=800-2 \mathrm{P} \rightarrow função de demanda mensal de barris de chopp do segmento B . A função de custo total do monopolista é CT =500+100(\mathrm{Qa}+\mathrm{Qb}). Com base nessas informações, avalie:
i) Se o monopolista conseguir praticar discriminação de preços, então o preço de máximo lucro do barril de 30 litros de chopp para os consumidores do segmento A será de \ 550 e no segmento B será deá$250 . ii) O lucro total máximo do monopolista com a prática de discriminação de preços é de \(\\) 247.000 por mês.
iii) Se a empresa monopolista não conseguir discriminar os preços, então o preço de máximo lucro do barril de 30 litros
iv) Caso o mercado fosse perfeitamente concorrencial, o preço de venda do barril de chopp seria menor do que \ 350 . chopp será deá$350 e ela obterá lucro deá$ 187.000$ por mês.

Passo 1

O enunciado dá as demandas e o custo e pede para avaliar quatro afirmações sobre preços e lucros com e sem discriminação de preços. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Funções de demanda (quantidade de barris por mês em cada segmento, em função do preço P por barril):
    • Segmento A: \mathrm{Q_a} = 1000 - P.
    • Segmento B: \mathrm{Q_b} = 800 - 2P.
  • Função de custo total do monopolista: \mathrm{CT} = 500 + 100(\mathrm{Q_a}+\mathrm{Q_b}).
  • Afirmações a avaliar:
    i) Se praticar discriminação de preços (terceiro grau), os preços de máximo lucro seriam \$550 para A e \$250 para B.
    ii) Com discriminação, o lucro máximo seria \$247{,}000 por mês.
    iii) Se não puder discriminar (preço único), o preço de máximo lucro seria \$350 e o lucro \$187{,}000 por mês.
    iv) Em concorrência perfeita, o preço seria menor que \$350.
A partir daqui eu vou calcular passo a passo para verificar cada afirmação.

Passo 2

Preparar conceitos e obter o custo marginal (MC). Explicando de forma didática:
  • O monopolista, para maximizar lucro, compara receita marginal (MR) com custo marginal (MC). A regra é: escolher quantidade tal que \mathrm{MR}=\mathrm{MC}.
  • O custo total dado é \mathrm{CT}=500+100(\mathrm{Q_a}+\mathrm{Q_b}). O termo 500 é custo fixo; o termo 100(\mathrm{Q_a}+\mathrm{Q_b}) indica custo variável linear.
  • O custo marginal é a taxa de variação do custo total quando se vende uma unidade a mais. Como o custo variável é linear em Q, o custo marginal é constante: \mathrm{MC}=\frac{d\mathrm{CT}}{d(\mathrm{Q_a}+\mathrm{Q_b})}=100.
Logo \mathrm{MC}=100. Vou usar isso em todas as condições \mathrm{MR}=\mathrm{MC}.

Passo 3

Resolver o caso com discriminação de preços (o monopolista pode fixar preços distintos em A e B). A ideia: trata-se de dois submercados independentes; maximiza-se lucro em cada submercado separadamente com \mathrm{MR}_{i}=\mathrm{MC}.
Segmento A:
  • A demanda é \mathrm{Q_a}=1000-P. Invertendo para obter preço como função da quantidade: P = 1000 - \mathrm{Q_a}.
  • Receita no segmento A: \mathrm{R_a}=P\cdot\mathrm{Q_a}=(1000-\mathrm{Q_a})\mathrm{Q_a}=1000\mathrm{Q_a}-\mathrm{Q_a}^2.
  • Receita marginal no segmento A é a derivada de \mathrm{R_a} em relação a \mathrm{Q_a}: \mathrm{MR_a}=\frac{d\mathrm{R_a}}{d\mathrm{Q_a}}=1000-2\mathrm{Q_a}.
  • Igualando a \mathrm{MC}=100: 1000-2\mathrm{Q_a}=100 \quad\Rightarrow\quad 2\mathrm{Q_a}=900 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Q_a}^*=450.
  • Preço ótimo no segmento A: substituir na função inversa: P_A^*=1000-\mathrm{Q_a}^*=1000-450=550.
Portanto, com discriminação, o preço no segmento A é \,P_A^*=550.

Passo 4

Segmento B (continuação do caso discriminação):
  • A demanda é \mathrm{Q_b}=800-2P. Invertendo para preço: P = 400 - \frac{\mathrm{Q_b}}{2}.
  • Receita no segmento B: \mathrm{R_b}=P\cdot\mathrm{Q_b}=\left(400-\frac{\mathrm{Q_b}}{2}\right)\mathrm{Q_b}=400\mathrm{Q_b}-\frac{\mathrm{Q_b}^2}{2}.
  • Receita marginal no segmento B: \mathrm{MR_b}=\frac{d\mathrm{R_b}}{d\mathrm{Q_b}}=400-\mathrm{Q_b}.
  • Igualando a \mathrm{MC}=100: 400-\mathrm{Q_b}=100 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Q_b}^*=300.
  • Preço ótimo no segmento B: P_B^*=400-\frac{\mathrm{Q_b}^*}{2}=400-\frac{300}{2}=400-150=250.
Portanto, com discriminação, P_B^*=250.

Passo 5

Calcular receita total, custo total e lucro no caso com discriminação, mostrando contas detalhadas:
  • Quantidades ótimas: \mathrm{Q_a}^*=450, \mathrm{Q_b}^*=300. Quantidade total \mathrm{Q_{tot}}=450+300=750.
  • Receitas: \mathrm{TR_a}=P_A^*\cdot\mathrm{Q_a}^*=550\cdot450=247{,}500.
\mathrm{TR_b}=P_B^*\cdot\mathrm{Q_b}^*=250\cdot300=75{,}000.
\mathrm{TR_{tot}}=247{,}500+75{,}000=322{,}500.
  • Custo total: \mathrm{CT}=500+100\cdot\mathrm{Q_{tot}}=500+100\cdot750=500+75{,}000=75{,}500.
  • Lucro: \Pi_{\text{discrim}}=\mathrm{TR_{tot}}-\mathrm{CT}=322{,}500-75{,}500=247{,}000.
Conclusões parciais: os preços obtidos com discriminação são P_A^*=550 e P_B^*=250 (confirmando a afirmação i), e o lucro é \Pi_{\text{discrim}}=247{,}000 (confirmando a afirmação ii).

Passo 6

Agora o caso sem discriminação (preço único para ambos os segmentos). Procedimento: agregar demandas e aplicar MR=MC ao mercado agregado.
  • Demanda agregada (soma horizontal, para cada P): \mathrm{Q}=\mathrm{Q_a}+\mathrm{Q_b}=(1000-P)+(800-2P)=1800-3P.
  • Invertendo para preço em função da quantidade total \mathrm{Q}: P = 600 - \frac{\mathrm{Q}}{3}.
  • Receita total: \mathrm{TR}=P\cdot\mathrm{Q}=\left(600-\frac{\mathrm{Q}}{3}\right)\mathrm{Q}=600\mathrm{Q}-\frac{\mathrm{Q}^2}{3}.
  • Receita marginal (derivada de \mathrm{TR} em relação a \mathrm{Q}): \mathrm{MR}=600-\frac{2\mathrm{Q}}{3}.
  • Igualando a \mathrm{MC}=100: 600-\frac{2\mathrm{Q}}{3}=100 \quad\Rightarrow\quad \frac{2\mathrm{Q}}{3}=500 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Q}^*=750.
  • Preço único ótimo: P^*=600-\frac{750}{3}=600-250=350.
  • Receita total no monopólio sem discriminação: \mathrm{TR}=P^*\cdot\mathrm{Q}^*=350\cdot750=262{,}500.
  • Custo total (mesma quantidade total que no caso discriminado): \mathrm{CT}=500+100\cdot750=75{,}500.
  • Lucro: \Pi_{\text{único}}=262{,}500-75{,}500=187{,}000.ú
Conclusão: sem discriminação, o preço ótimo é P^*=350 e o lucro é \Pi_{\text{único}}=187{,}000ú, confirmando a afirmação iii.

Passo 7

Caso de concorrência perfeita: ensinar e aplicar o conceito rápido.
  • Em concorrência perfeita, as empresas são tomadoras de preço, e o preço de equilíbrio tende ao custo marginal no longo prazo (ou no nível relevante aqui). Assim, o preço competitivo seria igual a \mathrm{MC}.
  • Como já calculamos, \mathrm{MC}=100. Logo o preço competitivo seria P_{\text{comp}}=100.
  • Comparação: 100<350, logo é verdade que o preço em concorrência perfeita seria menor que \$350. Isso confirma a afirmação iv.

Passo 8

Resumo final das verificações (sem justificativas aqui, pois os cálculos já foram mostrados nos passos anteriores):
  • i) correto? preços com discriminação: P_A=550, P_B=250.
  • ii) lucro com discriminação: \Pi=247{,}000.
  • iii) sem discriminação: P=350, \Pi=187{,}000.
  • iv) preço competitivo: P_{\text{comp}}=100<350.

Resposta

i) Verdadeiro: \,P_A=550,\;P_B=250.
ii) Verdadeiro: \,\Pi_{\text{discrim}}=247{,}000.
iii) Verdadeiro: \,P=350,\;\Pi_{\text{único}}=187{,}000.ú
iv) Verdadeiro: preço competitivo P_{\text{comp}}=\mathrm{MC}=100<350.

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