Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de fi (b) escreva a série de potências que define a funçāo f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Seção 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); (c) ache o dominio de f^prime.
9. f(x)=sumn=1^infty (x-1)^nn 3^n

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=sumn=1^infty(x-1)^nn,3^n,
e pede: (a) o raio de convergência R dessa série e seu domínio de definição; (b) a série de potências que define f'(x) e o raio de convergência de f', verificando que coincide com R (Teorema 13.2.1); (c) o domínio de f'(x). O conteúdo é séries de potências e diferenciação termo a termo, usando o teste da razão.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de
sumn=1^inftyan, an=(x-1)^nn,3^n,
usamos o teste da razão:
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x-1)^n+1(n+1)3^n+1cdotn,3^n(x-1)^n| =|x-1|3limntoinftynn+1 =|x-1|3
Converge se L<1, ou seja
|x-1|<3,
logo o raio é
R=3
O domínio de f é o conjunto de x em que a série converge. No interior temos -2<x<4. Nos extremos:
  • x=4impliessum(4-1)^n/(n3^n)=sum1/n, diverge.
  • x=-2impliessum(-3)^n/(n3^n)=sum(-1)^n/n, converge (alternante).
    Portanto o domínio de f é
[-2,4)

Passo 3

Diferenciando termo a termo (válido em |x-1|<3),
f'(x)=sumn=1^inftyn(x-1)^n-1n,3^n =sumn=1^infty(x-1)^n-13^n
Reindexando com k=n-1,
f'(x)=sumk=0^infty(x-1)^k3^k+1 =13sumk=0^inftyl(x-13r)^k,
que é uma série geométrica. Aplicando o teste da razão a bk=(x-1)^k/3^k+1 dá de novo
limktoinftyl|bk+1bkr| =|x-1|3<1,
logo o raio de convergência de f' é também
R'=3,
confirmando o Teorema 13.2.1 de que derivação preserva o raio.

Passo 4

O domínio de f' é o intervalo de convergência da série de f':
|x-1|<3implies -2<x<4
Nos extremos:
  • Em x=4 temos termo geral constante 1/3, diverge.
  • Em x=-2 o termo geral é (-1)^k/3, não tende a zero, diverge.
    Logo o domínio de f' é
(-2,4)

Resposta

(a) R=3 e Dom(f)=[-2,4).
(b)
f'(x)=sumn=1^infty(x-1)^n-13^n =13sumk=0^inftyl(x-13r)^k,
com raio de convergência R'=3.
(c) Dom(f')=(-2,4).

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