Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de fi (b) escreva a série de potências que define a funçāo e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Seção 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); (c) ache o dominio de .
9.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o raio de convergência dessa série e seu domínio de definição; (b) a série de potências que define e o raio de convergência de , verificando que coincide com (Teorema 13.2.1); (c) o domínio de . O conteúdo é séries de potências e diferenciação termo a termo, usando o teste da razão.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de
usamos o teste da razão:
Converge se L<1, ou seja
|x-1|<3,
logo o raio é
R=3
O domínio de f é o conjunto de x em que a série converge. No interior temos -2<x<4. Nos extremos:
x=4impliessum(4-1)^n/(n3^n)=sum1/n, diverge.
x=-2impliessum(-3)^n/(n3^n)=sum(-1)^n/n, converge (alternante).
Portanto o domínio de f é