Movimento de uma partícula
A posição de uma partícula é dada por r(t)=(5 cos t, 5 sin t, t^2). Determine sua velocidade v(t) e aceleração a(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como
r(t) = l(5cos t,;5sin t,;t^2r)
Queremos a velocidade v(t) e a aceleração a(t). Para isso, lembramos que a derivada de um vetor é feita componente a componente, usando as derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Aplicando a definição
v(t) = drdt(t)
derivamos cada componente de r(t):
– Derivada de 5cos t é -5sin t.
– Derivada de 5sin t é 5cos t.
– Derivada de t^2 é 2t.
Logo,
v(t) = l(-5sin t,;5cos t,;2tr)

Passo 3

Para a aceleração usamos
a(t) = dvdt(t)
Derivando cada componente de v(t):
– Derivada de -5sin t é -5cos t.
– Derivada de 5cos t é -5sin t.
– Derivada de 2t é 2.
Logo,
a(t) = l(-5cos t,;-5sin t,;2r)

Resposta

v(t) = l(-5sin t,;5cos t,;2tr)
a(t) = l(-5cos t,;-5sin t,;2r)

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