Seja
um número real positivo. Dentre todos os triângulos com perímetro
, identifique aquele que possui área máxima.
Passo 1
O enunciado pede: dado um real positivo
, entre todos os triângulos de perímetro
qual tem área máxima. Vamos usar a fórmula de Heron para área e depois otimizar o produto que aparece, valendo-nos da desigualdade AM–GM.
Passo 2
Sejam
os lados do triângulo com
O semiperímetro é
e a área
vale pela fórmula de Heron:
Maximizar
equivale a maximizar o produto
.
Passo 3
Faça a mudança de variáveis
Então
com
, e
O problema reduz-se a maximizar
sob a condição
.
Passo 4
Pela desigualdade AM–GM para três termos:
logo
com igualdade se e somente se
Passo 5
Voltando a
, se
então
e o mesmo vale para
e
. Logo o triângulo de área máxima é aquele com
isto é, o triângulo equilátero de lados iguais a
.
Passo 6
(Em complemento) A área máxima fica
Resposta
O triângulo equilátero de lados iguais a
.