Seja p um número real positivo. Dentre todos os triângulos com perímetro 2 p, identifique aquele que possui área máxima.

Passo 1

O enunciado pede: dado um real positivo p, entre todos os triângulos de perímetro 2p qual tem área máxima. Vamos usar a fórmula de Heron para área e depois otimizar o produto que aparece, valendo-nos da desigualdade AM–GM.

Passo 2

Sejam a,b,c>0 os lados do triângulo com
a+b+c=2p
O semiperímetro é
s=a+b+c2=p,
e a área A vale pela fórmula de Heron:
A = raizs,(s-a),(s-b),(s-c) = raiz,p,(p-a),(p-b),(p-c),
Maximizar A equivale a maximizar o produto (p-a)(p-b)(p-c).

Passo 3

Faça a mudança de variáveis
x = p - a, y = p - b, z = p - c
Então
x+y+z = 3p - (a+b+c) = p,
com x,y,z>0, e
(p-a)(p-b)(p-c)=xyz
O problema reduz-se a maximizar xyz sob a condição x+y+z=p.

Passo 4

Pela desigualdade AM–GM para três termos:
x+y+z3>=raiz[3]xyz,
logo
xyz <= l(x+y+z3r)^3 = l(p3r)^3,
com igualdade se e somente se
x=y=z=p3

Passo 5

Voltando a a,b,c, se p-a=x=p/3 então
a= 2p3,
e o mesmo vale para b e c. Logo o triângulo de área máxima é aquele com
a=b=c=2p3,
isto é, o triângulo equilátero de lados iguais a tfrac2p3.

Passo 6

(Em complemento) A área máxima fica
Amax = raiz,p;l(tfracp3r)^3, = p^23raiz3

Resposta

O triângulo equilátero de lados iguais a tfrac2p3.

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