Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^{\prime} e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); (c) ache o domínio de f^{\prime}.
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por uma série de potências centrada em 1:
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n\,3^{n}}.
As perguntas são:
(a) achar o raio de convergência da série e o domínio de f;
(b) escrever a série de potências que define f', achar o raio de convergência dessa série e assim verificar o Teorema 13.2.1 (que diz que a diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência);
(c) achar o domínio de f'.
Informações úteis que já vemos no enunciado (vou usá‑las depois):
  • Centro da série: 1.
  • Coeficientes da forma a_n=\dfrac{1}{n\,3^{n}} multiplicando (x-1)^n.

Passo 2

Encontrar o raio de convergência: explicação do método (teste da razão) e aplicação.
Breve aula sobre o teste da razão para séries de potências:
  • Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n, uma maneira prática de encontrar o raio R é aplicar o teste da razão às parcelas a_n (x-c)^n. Calcula‑se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n}\right|
e a série converge se L<1. Ao simplificar L normalmente obtemos uma condição do tipo |x-c|<R; desse modo lê‑se o raio R.
  • Outra forma é usar a fórmula do raio R=\dfrac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}, que dá o mesmo resultado.
Aplicando ao nosso caso: as parcelas são
u_n(x)=\frac{(x-1)^n}{n\,3^{n}}.
Calculemos a razão
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| = \left|\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}}\cdot\frac{n3^{n}}{(x-1)^n}\right| = \frac{|x-1|}{3}\cdot\frac{n}{n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\frac{|x-1|}{3}.
Pelo teste da razão, a série converge quando \dfrac{|x-1|}{3}<1, isto é quando
|x-1|<3.
Portanto o raio de convergência é
R=3.
Comentário intuitivo: o fator 1/n nos coeficientes não muda o raio (aparece apenas como fator subexponencial), então apenas o fator 3^n no denominador determina R=3.

Passo 3

Determinar o domínio de f — isto é, o conjunto de x reais onde a série converge.
A desigualdade |x-1|<3 dá o intervalo aberto de convergência centrado em 1:
-3<x-1<3\quad\Longrightarrow\quad -2<x<4,
ou seja o intervalo (-2,4).
Precisamos agora testar os extremos x=-2 e x=4 separadamente (porque o teste da razão só dá o intervalo aberto).
  • Em x=4: substituindo em cada termo obtemos
\frac{(4-1)^n}{n\,3^{n}}=\frac{3^n}{n\,3^{n}}=\frac{1}{n}.
A série fica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, a série harmônica, que diverge. Logo a série não converge em x=4.
  • Em x=-2: substituindo obtemos
\frac{(-2-1)^n}{n\,3^{n}}=\frac{(-3)^n}{n\,3^{n}}=\frac{(-1)^n}{n}.
A série fica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n}. Essa é a série harmônica alternada (até um sinal), e pelos critérios da série alternada (critério de Leibniz) ela converge condicionalmente, porque \dfrac{1}{n} é decrescente para n grande e tende a 0. Portanto a série converge em x=-2.
Conclusão desta etapa: a série converge para x em [-2,4). Assim o domínio (conjunto de x reais onde a série define f) é
\text{Domínio de }f = [-2,\,4).í

Passo 4

Achar a série de potências que define f' por diferenciação termo a termo e justificar o raio de convergência.
Regra prática e justificativa (mini-aula): se \sum a_n (x-c)^n tem raio de convergência R>0, então pode‑se diferenciar termo a termo para obter
\frac{d}{dx}\!\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)=\sum_{n=1}^\infty n a_n (x-c)^{n-1},
e a série resultante tem o mesmo raio de convergência R. Este é exatamente o conteúdo do Teorema 13.2.1 citado no enunciado.
No nosso caso começamos com
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n\,3^{n}}.
Diferenciando termo a termo (cada termo é \dfrac{1}{n3^n}(x-1)^n, sua derivada é \dfrac{1}{n3^n}\cdot n (x-1)^{n-1}=\dfrac{(x-1)^{n-1}}{3^{n}}), obtemos
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-1}}{3^{n}}.
Reescrevendo com mudança de índice: ponha m=n-1. Então n=m+1 e quando n vai de 1 a \infty, m vai de 0 a \infty. Assim
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{m}}{3^{m+1}} =\frac{1}{3}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{3}\right)^{m}.
Isso é uma série geométrica com razão \dfrac{x-1}{3}. A série geométrica converge exatamente quando \left|\dfrac{x-1}{3}\right|<1, ou seja quando |x-1|<3. Portanto o raio de convergência da série para f' é também
R=3,
confirmando o Teorema 13.2.1.
Além disso podemos somar a série geométrica (no intervalo de convergência) e obter uma forma fechada:
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x-1}{3}}.
Simplificando o denominador:
1-\frac{x-1}{3}=\frac{3-(x-1)}{3}=\frac{4-x}{3},
logo
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4-x}=\frac{1}{4-x},
válido sempre que |x-1|<3 (isto é, enquanto estivermos dentro do raio de convergência).

Passo 5

Determinar o domínio de f' (onde a série que define f' converge) e observações finais sobre derivada.
Pelo que encontramos, a série que define f' é
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\sum_{m=0}^\infty\left(\frac{x-1}{3}\right)^m,
que converge exatamente quando |x-1|<3, isto é no intervalo aberto
(-2,\,4).
Agora testar os extremos para a série de f':
  • Em x=4: cada termo vale \dfrac{(4-1)^{n-1}}{3^{n}}=\dfrac{3^{\,n-1}}{3^{n}}=\dfrac{1}{3}. Assim a série torna‑se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{3}, que diverge (os termos não tendem a zero).
  • Em x=-2: cada termo vale \dfrac{(-2-1)^{n-1}}{3^{n}}=\dfrac{(-3)^{n-1}}{3^{n}}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{3}. Novamente os termos têm módulo constante \dfrac{1}{3}, não tendem a zero; a série diverge.
Portanto os extremos não pertencem ao domínio da série de f'. Assim
\text{Domínio de }f' = (-2,\,4).í
Observação importante (didática e prática para a prova): a função dada pela soma da série tem expressão fechada f(x)=-\ln\!\bigl(1-\tfrac{x-1}{3}\bigr)=\ln 3-\ln(4-x) para |x-1|<3, e daí a derivada é f'(x)=\dfrac{1}{4-x}. Essa expressão de f' é válida para x<4 (exceto x=4 onde explode), mas a série que representa f' converge só em (-2,4). No estudo de séries de potências é comum: a forma fechada pode estender-se além do intervalo de validade da série, mas a representação por série só vale dentro do intervalo (e possivelmente com algum extremo incluído se a série convergir lá).

Resposta

(a) R=3. Domínio de f=[-2,\,4).
(b) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{3}\right)^{m}. Raio de convergência: R=3.
(c) Domínio de f'=(-2,\,4).

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