Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^{\prime} e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); (c) ache o domínio de f^{\prime}.
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-2}}{(2 n-2)!}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado dá a função definida por série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}.
  • Perguntas:
    (a) achar o raio de convergência da série e o domínio de f;
    (b) escrever a série de potências que define f'(x) e achar o raio de convergência desta série, usando os métodos da Secção 13.1 (isto é, testando convergência das séries de termos e verificando o Teorema 13.2.1);
    (c) achar o domínio de f'.

Passo 2

Primeira manipulação útil: simplificar o índice da soma para ver melhor a série. Faça m=n-1. Quando n=1,2,3,\dots temos m=0,1,2,\dots. Substituindo,
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m}}{(2m)!}.
Esta forma é mais simples para trabalhar (os expoentes são 0,2,4,\dots).
Comentário rápido (didático): escrever a série com m começando em 0 facilita aplicar testes de convergência porque os termos formam uma sequência indexada por todos os inteiros não negativos. Cada termo é \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}.

Passo 3

Calcular o raio de convergência de f. Aqui uso o Teste da Razão (ratio test) para séries de termos não negativos (aplicado aos termos em módulo) — é um método clássico em Secção 13.1.
Considere os termos em módulo
a_m=\left|\frac{x^{2m}}{(2m)!}\right|=\frac{|x|^{2m}}{(2m)!}.
Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{m+1}}{a_m}=\frac{|x|^{2(m+1)}/(2(m+1))!}{|x|^{2m}/(2m)!} =\frac{|x|^2}{(2m+2)(2m+1)}.
Para um x fixo, ao deixar m\to\infty obtemos
\lim_{m\to\infty}\frac{a_{m+1}}{a_m}=0,
pois o denominador (2m+2)(2m+1) cresce sem limite enquanto |x|^2 é fixo.
Pela versão do Teste da Razão, se a razão limite é <1 então a série converge; aqui a razão limite é 0 para todo x\in\mathbb{R}, logo a série converge para todo x. Isso mostra que o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Didática extra sobre raio de convergência: o raio R é o número tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. Encontramos R=\infty porque a série converge para todo x.

Passo 4

Determinar o domínio de f. Como a série converge para todos os x\in\mathbb{R} (raio infinito), a função f está definida em todo o conjunto dos reais:
\text{Domínio de }f = (-\infty,\infty).í
Comentário adicional (intuitivo): a série \sum_{m=0}^\infty \dfrac{x^{2m}}{(2m)!} é justamente a série de Maclaurin da função hiperbólica cosseno, isto é
f(x)=\operatorname{cosh} x=\sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m}}{(2m)!},
mas para responder às partes (a)-(c) não precisamos usar essa identidade — só o teste de razão já conclui convergência total.

Passo 5

Agora derivar termo a termo para obter a série que define f'(x). Justificação: pelo Teorema 13.2.1 (diferenciação term a term dentro do raio de convergência), se uma série de potências tem raio R>0 então pode-se diferenciar termo a termo e a série resultante tem o mesmo raio R. Como já mostramos R=\infty, a diferenciação termo a termo é permitida para todos os x.
Derive cada termo (usando a forma com m):
Termo geral de f é \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}. Sua derivada é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2m}}{(2m)!}\right)=\frac{2m\;x^{2m-1}}{(2m)!}=\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!},
válido para m\ge1. Para m=0 o termo é constante 1 e sua derivada é 0, que está coerente pois substituindo m=0 a fórmula acima daria um fator 2m=0.
Logo a série para f'(x) (somando os termos não nulos a partir de m=1) é
f'(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}.
Uma reindexação comum: faça j=m-1. Então m=1,2,\dots corresponde a j=0,1,\dots e
f'(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!},
que é a série de \operatorname{sinh} x. Mais uma vez, essa identificação é opcional, a forma em série é o que o enunciado pede.

Passo 6

Achar o raio de convergência da série de f'(x) diretamente pelo Teste da Razão (para verificar o Teorema 13.2.1 na prática).
Considere os termos em módulo da série de f',
b_m=\left|\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}\right|=\frac{|x|^{2m-1}}{(2m-1)!},\qquad m\ge1.
Calcule a razão
\frac{b_{m+1}}{b_m}=\frac{|x|^{2(m+1)-1}/(2(m+1)-1)!}{|x|^{2m-1}/(2m-1)!} =\frac{|x|^{2}}{(2m+1)(2m)}.
Novamente, ao deixar m\to\infty,
\lim_{m\to\infty}\frac{b_{m+1}}{b_m}=0.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R} a série de f' converge, e o raio de convergência da série de f' é também infinito:
R_{f'}=\infty.
Isto confirma na prática o conteúdo do Teorema 13.2.1: a série derivada tem o mesmo raio de convergência que a série original.

Passo 7

Determinar o domínio de f'. Como a série que define f' converge para todo real, o domínio de f' é
\text{Domínio de }f' = (-\infty,\infty).í
Comentário final e motivacional: resumindo, ambos f e f' são definidos para todos os reais; a diferenciação termo a termo foi permitida porque o raio é infinito. Se estiver nervoso na prova: para séries com fatorial nos denominadores, o teste da razão costuma dar limites nulos e provar convergência global — esse é um gesto padrão para reconhecer séries como exponencial/hiperbólicas.

Resposta

(a) R=\infty. Domínio de f: (-\infty,\infty).
(b) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}. Raio de convergência de f': R=\infty.
(c) Domínio de f': (-\infty,\infty).

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