Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}
Passo 1
O enunciado dá a série
O que se pede: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A série é alternada por causa do fator
. - Devemos investigar tanto a convergência absoluta (soma dos
) quanto a convergência da série original (possível convergência condicional).
Passo 2
Primeiro vou testar a convergência absoluta. Para isso considero a série das normas dos termos:
Uma ferramenta natural aqui é o teste da razão (dado que aparece fatorial e potência), porque ele compara
e costuma decidir rápido quando há fatores tipo
e
.
Lembrete do teste da razão (explicando como funciona): seja uma série com termos não negativos
. Defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(incluindo ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui vou aplicar esse teste com
.
Passo 3
Calculo a razão:
Agora tomo limite quando
:
Como esse limite é maior que
(na verdade infinito), pelo teste da razão a série
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Agora verifico se a série pode ser condicionalmente convergente. Um fato fundamental (teste do termo geral) é: se uma série
converge, então necessariamente
quando
. Portanto, antes de tentar qualquer teste para séries alternadas (como o critério de Leibniz), preciso checar o limite dos termos
.
Aqui
. Vou estudar o comportamento de
.
Observe a razão entre termos consecutivos que já calculei:
Para
temos
. Assim, para
,
Isto implica que a sequência
cresce pelo menos geometricamente: para todo
,
Como
quando
, segue que
quando
. Em particular
não tende a zero, logo
também não tende a zero (os sinais alternam, mas o módulo diverge). Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série não pode convergir.
Portanto a série original diverge; não há convergência condicional possível.
Passo 5
Resumo do raciocínio:
- A série das magnitudes
diverge pelo teste da razão (razão tende a ); assim não é absolutamente convergente. - Além disso, os termos
não tendem a zero (de fato ), logo a série não converge (teste do termo geral). Assim não é condicionalmente convergente nem absolutamente convergente.
Resposta
A série diverge.