Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{2^{n+1}}.
O que se pede: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n!}{2^{n+1}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
  • Devemos investigar tanto a convergência absoluta (soma dos |a_n|) quanto a convergência da série original (possível convergência condicional).

Passo 2

Primeiro vou testar a convergência absoluta. Para isso considero a série das normas dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n+1}}.
Uma ferramenta natural aqui é o teste da razão (dado que aparece fatorial e potência), porque ele compara |a_{n+1}|/|a_n| e costuma decidir rápido quando há fatores tipo n! e 2^n.
Lembrete do teste da razão (explicando como funciona): seja uma série com termos não negativos b_n. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
  • Se L<1, a série \sum b_n converge absolutamente.
  • Se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui vou aplicar esse teste com b_n = \dfrac{n!}{2^{n+1}}.

Passo 3

Calculo a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{n+2}}}{\dfrac{n!}{2^{n+1}}} = \frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{2^{n+1}}{2^{n+2}} = (n+1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}.
Agora tomo limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}=+\infty.
Como esse limite é maior que 1 (na verdade infinito), pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{2^{n+1}} diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora verifico se a série pode ser condicionalmente convergente. Um fato fundamental (teste do termo geral) é: se uma série \sum a_n converge, então necessariamente a_n\to 0 quando n\to\infty. Portanto, antes de tentar qualquer teste para séries alternadas (como o critério de Leibniz), preciso checar o limite dos termos a_n.
Aqui a_n = (-1)^n\dfrac{n!}{2^{n+1}}. Vou estudar o comportamento de |a_n| = \dfrac{n!}{2^{n+1}}.
Observe a razão entre termos consecutivos que já calculei:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{n+1}{2}.
Para n\ge 3 temos \dfrac{n+1}{2}\ge 2. Assim, para n\ge 3,
|a_{n+1}|\ge 2\,|a_n|.
Isto implica que a sequência (|a_n|)_{n\ge3} cresce pelo menos geometricamente: para todo k\ge0,
|a_{3+k}|\ge 2^{\,k}|a_3|.
Como 2^{k}\to\infty quando k\to\infty, segue que |a_n|\to+\infty quando n\to\infty. Em particular |a_n| não tende a zero, logo a_n também não tende a zero (os sinais alternam, mas o módulo diverge). Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série não pode convergir.
Portanto a série original diverge; não há convergência condicional possível.

Passo 5

Resumo do raciocínio:
  • A série das magnitudes \sum |a_n|=\sum \dfrac{n!}{2^{n+1}} diverge pelo teste da razão (razão tende a +\infty>1); assim não é absolutamente convergente.
  • Além disso, os termos a_n não tendem a zero (de fato |a_n|\to+\infty), logo a série não converge (teste do termo geral). Assim não é condicionalmente convergente nem absolutamente convergente.

Resposta

A série diverge.

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