Nos Exercícios 11 e 12, determine se bé combinação linear de a1, a2 e a3.
a1=[r1 -2 0], a2=[l0 1 2], a3=[r5 -6 8], b=[r2 -1 6]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor b está no espaço gerado pelos vetores a1, a2, a3, ou seja, se existem escalares x,y,z tais que x a1+y a2+z a3= b. O conteúdo é combinação linear e vamos precisar montar e resolver um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação x a1+y a2+z a3= b coordenada a coordenada, obtemos:

Passo 3

x+5z=2

Passo 4

-2x+y-6z=-1

Passo 5

2y+8z=6

Passo 6

Resolvendo a primeira e a terceira equações em função de z:

Passo 7

da primeira x+5z=2 segue x=2-5z;

Passo 8

da terceira 2y+8z=6 segue y=3-4z.

Passo 9

Substituindo x=2-5z e y=3-4z na segunda equação -2x+y-6z=-1 temos:

Passo 10

-2(2-5z)+(3-4z)-6z = -1,

Passo 11

que se reduz a -4+10z+3-4z-6z=-1 e finalmente -1=-1, sempre verdadeiro para qualquer z.

Passo 12

Isso mostra que o sistema é consistente e tem infinitas soluções, logo b é combinação linear dos três vetores.

Passo 13

Por exemplo, escolhendo z=0 obtemos x=2 e y=3, isto é, b=2 a1+3 a2.

Resposta

Sim. Por exemplo, b=2, a1+3, a2, logo b é combinação linear de a1, a2, a3.

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