Nos Exercícios 11 e 12, determine se bé combinação linear de e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor b está no espaço gerado pelos vetores a1, a2, a3, ou seja, se existem escalares x,y,z tais que x a1+y a2+z a3= b. O conteúdo é combinação linear e vamos precisar montar e resolver um sistema linear.
Passo 2
Escrevendo a combinação x a1+y a2+z a3= b coordenada a coordenada, obtemos:
Passo 3
x+5z=2
Passo 4
-2x+y-6z=-1
Passo 5
2y+8z=6
Passo 6
Resolvendo a primeira e a terceira equações em função de z:
Passo 7
da primeira x+5z=2 segue x=2-5z;
Passo 8
da terceira 2y+8z=6 segue y=3-4z.
Passo 9
Substituindo x=2-5z e y=3-4z na segunda equação -2x+y-6z=-1 temos:
Passo 10
-2(2-5z)+(3-4z)-6z = -1,
Passo 11
que se reduz a -4+10z+3-4z-6z=-1 e finalmente -1=-1, sempre verdadeiro para qualquer z.
Passo 12
Isso mostra que o sistema é consistente e tem infinitas soluções, logo b é combinação linear dos três vetores.
Passo 13
Por exemplo, escolhendo z=0 obtemos x=2 e y=3, isto é, b=2 a1+3 a2.
Resposta
Sim. Por exemplo, b=2, a1+3, a2, logo b é combinação linear de a1, a2, a3.