Nos exercícios 9. a 11. calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies de equações dadas.
x^{2}+y^{2}=b^{2}, y+z=a e z=0, onde a \geq b>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas três superfícies:
x^{2}+y^{2}=b^{2},\qquad y+z=a,\qquad z=0,
onde foi dado que a\ge b>0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A equação \;x^{2}+y^{2}=b^{2}\; descreve um cilindro reto de raio b com eixo paralelo ao eixo z. O interior do sólido está dentro desse cilindro, isto é, no disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le b^{2}\}.
  2. A equação \;y+z=a\; é um plano inclinado; isolando z obtemos \;z=a-y\;. Esse será o plano superior do sólido.
  3. A equação \;z=0\; é o plano xy e será a base (superfície inferior) do sólido.
  4. Como a\ge b e y no disco satisfaz -b\le y\le b, temos a-y\ge a-b\ge0. Portanto, o plano superior está sempre acima do plano z=0 para todos os pontos do disco D — não há regiões onde o sólido “desapareça”.
O que se pergunta: calcular o volume do sólido limitado por essas superfícies.

Passo 2

Estratégia geométrica elementar (sem ainda calcular): para cada ponto (x,y) no disco D a altura do sólido é a distância entre o plano superior e o plano inferior, isto é,
\text{altura} = (\text{plano superior}) - (\text{plano inferior}) = (a-y) - 0 = a-y.
Portanto o volume pode ser obtido integrando essa altura sobre a região D. Em fórmulas:
V=\iint_{D} (a-y)\,dA.
Agora vamos transformar essa integral em algo que possamos calcular explicitamente e de forma prática.

Passo 3

Explicando a fórmula de volume por integração dupla (aula rápida):
  • Se uma região do espaço é dada por pontos (x,y) no conjunto D e, para cada (x,y), a altura do sólido é h(x,y), então o volume é
V=\iint_{D} h(x,y)\,dA.
Aqui h(x,y)=a-y. dA representa um elemento de área no plano xy. A ideia é dividir D em pequenos retângulos de área dA, aproximar o sólido como uma pilha de prismas de base dA e altura h(x,y), somar e passar ao limite (integral).

Passo 4

Montando a integral em coordenadas cartesianas:
V=\iint_{x^{2}+y^{2}\le b^{2}}(a-y)\,dA.
Neste ponto podemos observar uma coisa útil: o disco D é simétrico em torno da origem. A função a-y se decompõe em a (constante) e -y (ímpar em y). A integral de a sobre D será a vezes a área de D. A integral de -y sobre o disco simétrico será zero, porque para cada ponto com coordenada y existe outro com coordenada -y e contribuições cancelam. Ou seja,
\iint_{D} (a-y)\,dA = a\iint_{D}dA \;-\; \iint_{D} y\,dA.
Explicando: \iint_{D}dA é a área do disco de raio b, que é \pi b^{2}. E \iint_{D} y\,dA = 0 por simetria (função ímpar sobre domínio simétrico em y).
Mas para praticidade e para treinar cálculo, vamos também resolver a integral usando coordenadas polares, que são muito naturais para um disco.

Passo 5

Mudança para coordenadas polares (por que e como):
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • O disco x^{2}+y^{2}\le b^{2} fica simplesmente 0\le r\le b,\;0\le\theta\le 2\pi.
  • O elemento de área transforma como dA = r\,dr\,d\theta (esse r é o jacobiano da transformação; intuitivamente porque um pequeno retângulo polar tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta).
  • A função a-y em polares vira a - r\sin\theta.
Portanto o volume em polares é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{b} \bigl(a - r\sin\theta\bigr)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcule a integral interna em r. Primeiro expandimos o integrando:
\bigl(a - r\sin\theta\bigr)\,r = a r - r^{2}\sin\theta.
Agora integramos em r de 0 a b:
\int_{0}^{b} (a r - r^{2}\sin\theta)\,dr = a\int_{0}^{b} r\,dr \;-\; \sin\theta \int_{0}^{b} r^{2}\,dr.
Calcule as primitivas:
\int_{0}^{b} r\,dr = \frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b} r^{2}\,dr = \frac{b^{3}}{3}.
Logo o resultado da integral em r é
\frac{a b^{2}}{2} \;-\; \frac{b^{3}}{3}\sin\theta.

Passo 7

Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{a b^{2}}{2} - \frac{b^{3}}{3}\sin\theta\right)\,d\theta.
Separe as parcelas:
V=\frac{a b^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi} d\theta \;-\; \frac{b^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0
(porque a função seno tem áreas positivas e negativas que se cancelam em um período completo).
Portanto
V=\frac{a b^{2}}{2}\cdot 2\pi - \frac{b^{3}}{3}\cdot 0 = a b^{2}\pi.

Passo 8

Verificação rápida por simetria (cheque mental):
  • Pelo passo 4 tínhamos observado que \iint_{D} y\,dA=0 e \iint_{D}dA=\pi b^{2}. Assim
V = a\cdot \pi b^{2} - 0 = \pi a b^{2},
coincidindo com o resultado obtido por integração polar. Faz sentido físico: a altura média sobre o disco é a (porque o termo -y tem média zero), então volume = área do disco \times altura média = \pi b^{2}\cdot a.

Resposta

\pi a b^{2}

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