Nos exercícios 9. a 11. calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies de equações dadas.
e
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas três superfícies:
onde foi dado que
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação
descreve um cilindro reto de raio com eixo paralelo ao eixo . O interior do sólido está dentro desse cilindro, isto é, no disco . - A equação
é um plano inclinado; isolando obtemos . Esse será o plano superior do sólido. - A equação
é o plano e será a base (superfície inferior) do sólido. - Como
e no disco satisfaz , temos . Portanto, o plano superior está sempre acima do plano para todos os pontos do disco — não há regiões onde o sólido “desapareça”.
O que se pergunta: calcular o volume do sólido limitado por essas superfícies.
Passo 2
Estratégia geométrica elementar (sem ainda calcular): para cada ponto
no disco
a altura do sólido é a distância entre o plano superior e o plano inferior, isto é,
Portanto o volume pode ser obtido integrando essa altura sobre a região
. Em fórmulas:
Agora vamos transformar essa integral em algo que possamos calcular explicitamente e de forma prática.
Passo 3
Explicando a fórmula de volume por integração dupla (aula rápida):
- Se uma região do espaço é dada por pontos
no conjunto e, para cada , a altura do sólido é , então o volume é
Aqui
.
representa um elemento de área no plano
. A ideia é dividir
em pequenos retângulos de área
, aproximar o sólido como uma pilha de prismas de base
e altura
, somar e passar ao limite (integral).
Passo 4
Montando a integral em coordenadas cartesianas:
Neste ponto podemos observar uma coisa útil: o disco
é simétrico em torno da origem. A função
se decompõe em
(constante) e
(ímpar em
). A integral de
sobre
será
vezes a área de
. A integral de
sobre o disco simétrico será zero, porque para cada ponto com coordenada
existe outro com coordenada
e contribuições cancelam. Ou seja,
Explicando:
é a área do disco de raio
, que é
. E
por simetria (função ímpar sobre domínio simétrico em
).
Mas para praticidade e para treinar cálculo, vamos também resolver a integral usando coordenadas polares, que são muito naturais para um disco.
Passo 5
Mudança para coordenadas polares (por que e como):
- Em coordenadas polares usamos
e . - O disco
fica simplesmente . - O elemento de área transforma como
(esse é o jacobiano da transformação; intuitivamente porque um pequeno retângulo polar tem área aproximada ). - A função
em polares vira .
Portanto o volume em polares é
Passo 6
Calcule a integral interna em
. Primeiro expandimos o integrando:
Agora integramos em
de
a
:
Calcule as primitivas:
Logo o resultado da integral em
é
Passo 7
Agora integramos em
de
a
:
Separe as parcelas:
Calcule as integrais:
(porque a função seno tem áreas positivas e negativas que se cancelam em um período completo).
Portanto
Passo 8
Verificação rápida por simetria (cheque mental):
- Pelo passo 4 tínhamos observado que
e . Assim
coincidindo com o resultado obtido por integração polar. Faz sentido físico: a altura média sobre o disco é
(porque o termo
tem média zero), então volume = área do disco
altura média =
.