Nos exercícios 7. e 8. inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{y+2} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\,y+2} f(x,y)\,dx\,dy.
Informações fornecidas:
0\le y\le 1,\qquad y^{2}\le x\le y+2.
Ou seja, o domínio de integração D é o conjunto de pontos (x,y) tais que y vai de 0 a 1 e, para cada y, x vai de y^{2} até y+2.

Passo 2

Descrever geometricamente o domínio D ajuda a inverter a ordem. As curvas que delimitam D são:
x=y^{2}\quad\text{(parábola)},á
x=y+2\quad\text{(reta)}.
Para y=0 obtemos x\in[0,2]. Para y=1 obtemos x\in[1,3]. Portanto o domínio D está contido no retângulo 0\le y\le1 e 0\le x\le3. Logo a projeção de D no eixo x é o intervalo [0,3].

Passo 3

Para inverter a ordem, para um x fixo devemos encontrar os valores de y tais que (x,y)\in D. As condições são
y^{2}\le x \quad\text{e}\quad x\le y+2,
com 0\le y\le1. A primeira desigualdade y^{2}\le x implica
-\sqrt{x}\le y\le \sqrt{x},
mas como y\ge 0 (pela definição do domínio), isso reduz para
0\le y\le \sqrt{x}.
A segunda desigualdade x\le y+2 é equivalente a
y\ge x-2.
Combinando tudo:
\max(0,x-2)\le y\le \min(1,\sqrt{x}).

Passo 4

Precisamos agora determinar para quais x esse intervalo para y é não vazio. Os pontos críticos são onde as funções que aparecem nas máximas/mínimas mudam: \sqrt{x}=1 x=1 e x-2=0 x=2. Assim particionamos x em três intervalos dentro de [0,3]:
  • Para 0\le x\le 1: temos \sqrt{x}\le 1 e x-2\le 0. Então
    \max(0,x-2)=0,\qquad \min(1,\sqrt{x})=\sqrt{x},
    logo y\in[0,\sqrt{x}].
  • Para 1\le x\le 2: temos \sqrt{x}\ge 1 e x-2\le 0. Então
    \max(0,x-2)=0,\qquad \min(1,\sqrt{x})=1,
    logo y\in[0,1].
  • Para 2\le x\le 3: temos \sqrt{x}\ge 1 e x-2\ge 0. Então
    \max(0,x-2)=x-2,\qquad \min(1,\sqrt{x})=1,
    logo y\in[x-2,1].

Passo 5

Agora escrevemos a integral com a ordem invertida, somando as contribuições dos três intervalos em x:
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\,y+2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{2}^{3}\int_{x-2}^{1} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\,y+2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{2}^{3}\int_{x-2}^{1} f(x,y)\,dy\,dx

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