Nos exercícios 7. e 8. inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações fornecidas:
Ou seja, o domínio de integração
é o conjunto de pontos
tais que
vai de
a
e, para cada
,
vai de
até
.
Passo 2
Descrever geometricamente o domínio
ajuda a inverter a ordem. As curvas que delimitam
são:
Para
obtemos
. Para
obtemos
. Portanto o domínio
está contido no retângulo
e
. Logo a projeção de
no eixo
é o intervalo
.
Passo 3
Para inverter a ordem, para um
fixo devemos encontrar os valores de
tais que
. As condições são
com
. A primeira desigualdade
implica
mas como
(pela definição do domínio), isso reduz para
A segunda desigualdade
é equivalente a
Combinando tudo:
Passo 4
Precisamos agora determinar para quais
esse intervalo para
é não vazio. Os pontos críticos são onde as funções que aparecem nas máximas/mínimas mudam:
dá
e
dá
. Assim particionamos
em três intervalos dentro de
:
-
Para
: temos e . Então logo. -
Para
: temos e . Então logo. -
Para
: temos e . Então logo.
Passo 5
Agora escrevemos a integral com a ordem invertida, somando as contribuições dos três intervalos em
: