Use coordenadas polares para calcular as integrais dos exercícios 16. a 20.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - A condição
diz que está entre dois círculos centrados na origem com raios e . - As desigualdades
limitam a região entre as retas e .
Passo 2
Explicando a mudança para coordenadas polares (a parte didática):
- Em coordenadas polares usamos as variáveis
com
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- O elemento de área
em polares transforma-se em
Isto vem do jacobiano da transformação; intuitivamente cada pequeno retângulo em
tem área aproximada
.
Passo 3
Converter as condições da região
para polares:
- A condição
vira
pois
.
- As retas
e correspondem aos ângulos e respectivamente (pois e ). Para decidir entre as várias possibilidades de (ex.: ou ), escolhemos o setor que contém o ponto (teste simples): para as desigualdades são satisfeitas, então o setor é o que contém . Logo o intervalo angular é
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares:
- A função
depende só de , pois . Assim a integrando vira . - Substituindo
e os limites obtidos, a integral fica
Passo 5
Calcular a integral em
(a parte técnica e didática da substituição):
- Para integrar
usamos a substituição
- Quando
temos . Quando temos . - Portanto
Passo 6
Calcular a integral em
e montar o resultado final:
- A integral em
é simples porque o resultado da integral em é independente de . Assim
- O comprimento do intervalo em
é
- Multiplicando,