Use coordenadas polares para calcular as integrais dos exercícios 16. a 20.
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 16\right. e \left.-x \leq y \leq x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\\ 1 \le x^{2}+y^{2}\le 16 \\ \text{ e }\\\ -x\le y\le x\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é e^{x^{2}+y^{2}}.
  • A condição 1 \le x^{2}+y^{2}\le 16 diz que R está entre dois círculos centrados na origem com raios 1 e 4.
  • As desigualdades -x\le y\le x limitam a região entre as retas y=x e y=-x.

Passo 2

Explicando a mudança para coordenadas polares (a parte didática):
  • Em coordenadas polares usamos as variáveis (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área dx\,dy em polares transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Isto vem do jacobiano da transformação; intuitivamente cada pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.

Passo 3

Converter as condições da região R para polares:
  • A condição 1 \le x^{2}+y^{2}\le 16 vira
1 \le r^{2} \le 16 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le r \le 4,
pois r\ge 0.
  • As retas y=x e y=-x correspondem aos ângulos \theta=\pi/4 e \theta=-\pi/4 respectivamente (pois \tan\theta=y/x e \tan(\pm\pi/4)=\pm 1). Para decidir entre as várias possibilidades de \theta (ex.: \pi/4 ou \pi/4+\pi), escolhemos o setor que contém o ponto (1,0) (teste simples): para (1,0) as desigualdades -x\le y\le x são satisfeitas, então o setor é o que contém \theta=0. Logo o intervalo angular é
-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares:
  • A função e^{x^{2}+y^{2}} depende só de r, pois x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim a integrando vira e^{r^{2}}.
  • Substituindo dx\,dy = r\,dr\,d\theta e os limites obtidos, a integral fica
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=-\pi/4}^{\pi/4}\int_{r=1}^{4} e^{r^{2}}\, r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r (a parte técnica e didática da substituição):
  • Para integrar \int e^{r^{2}} r\,dr usamos a substituição
u = r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
  • Quando r=1 temos u=1. Quando r=4 temos u=16.
  • Portanto
\int_{r=1}^{4} e^{r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{16} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{1}^{16} = \frac{1}{2}\left(e^{16}-e^{1}\right).

Passo 6

Calcular a integral em \theta e montar o resultado final:
  • A integral em \theta é simples porque o resultado da integral em r é independente de \theta. Assim
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left(\frac{1}{2}\bigl(e^{16}-e\bigr)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl(e^{16}-e\bigr)\cdot \left[\theta\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}.
  • O comprimento do intervalo em \theta é
\left[\theta\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.
  • Multiplicando,
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\bigl(e^{16}-e\bigr)\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\bigl(e^{16}-e\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{4}\bigl(e^{16}-e\bigr)

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