Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos 
 , da região 
  delimitada pelos gráficos das equações dadas.
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região 
  em torno do eixo dos 
 . A região 
  está delimitada pelas curvas 
 , 
 , 
  e 
 . Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo dos 
 . Quando fazemos isso, cada ponto da região descreve um círculo ao redor do eixo. O volume total do sólido pode ser encontrado integrando a área desses círculos ao longo do eixo 
 .
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar a fórmula dos discos:
Aqui, 
  é o raio do disco em cada valor de 
 , e 
  são os limites de integração. No nosso caso, 
  e 
 .
Passo 4
Vamos identificar 
 . A região é limitada por 
  e 
 . Como estamos girando em torno do eixo dos 
 , o raio 
  é a distância do eixo dos 
  até a curva 
 , ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos 
  na fórmula dos discos:
Vamos expandir 
 :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 
  e 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Passo 7
Vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Primeiro, somamos os termos:
Para somar as frações, achamos um denominador comum, que é 15:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo 
  para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é 
  unidades cúbicas.