Justifique as seguintes questões:
é irrotacional.$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor
é irrotacional. Isso significa que precisamos provar que o rotacional desse vetor é igual a zero. O rotacional, ou curl, é uma operação que nos diz a tendência de rotação de um campo vetorial. Se o rotacional for zero, dizemos que o campo é irrotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um vetor
. A fórmula do rotacional é:
Vamos identificar
,
e
na nossa questão:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a primeira componente do rotacional é:
Passo 4
Vamos para a segunda componente:
.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a segunda componente do rotacional é:
Passo 5
Finalmente, a terceira componente:
.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Resposta
Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que
é irrotacional.