Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos 1,1 e (4,8). Experimente resolver a questão considerando função de x e depois função de y * R = (1/27) * (80 * raiz(10) - 13 * raiz(13))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento do arco da parábola semicúbica entre os pontos e . Isso envolve conceitos de cálculo de comprimento de arco usando integrais. Vamos precisar das fórmulas para comprimento de arco tanto quando a função está em termos de quanto em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver considerando como função de . Para isso, precisamos reescrever a equação da parábola para expressar em função de .
Dada a equação , podemos isolar :
Agora, para encontrar o comprimento do arco entre e , usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função :
Vamos calcular :
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 3

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja:
Mudando os limites de integração:
  • Quando :
  • Quando :
Agora, a integral fica:
Integrando:
Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

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