Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O limite inferior depende de
: . - O limite superior depende de
: . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (explicada de forma direta): se
então a regra de diferenciação (regra de Leibniz / Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis) diz que
Intuição curta: a variação de
vem da variação do valor do integrando no limite superior (multiplicada pela velocidade com que o limite sobe) menos a variação do integrando no limite inferior (multiplicada pela velocidade com que o limite desce). Para aplicar isso precisamos também do “chain rule” (regra da cadeia) para derivar
e
.
Passo 3
Identificamos as peças da fórmula:
-
. -
, então vamos precisar de . -
, então vamos precisar de .
Também vamos avaliarnos limites:
Observação útil: a função cosseno é par, ou seja
. Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas dos limites (usando regra da cadeia quando necessário).
Derivada do limite superior:
Derivada do limite inferior:
Aplicando a regra da cadeia (derivada de
é
):
portanto
Lembrete de identidade trigonométrica útil:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Leibniz:
Substituindo os valores que já calculamos:
Usando
e simplificando o sinal:
Podemos ainda usar
para uma forma mais compacta: