Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
f(x)=\int_{-\operatorname{sen}^{2} x}^{x^{4}} \cos t^{3} d t

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\int_{-\sin^{2}x}^{\,x^{4}} \cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos\bigl(t^{3}\bigr).
  • O limite inferior depende de x: a(x)=-\sin^{2}x.
  • O limite superior depende de x: b(x)=x^{4}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (explicada de forma direta): se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt,
então a regra de diferenciação (regra de Leibniz / Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis) diz que
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Intuição curta: a variação de F vem da variação do valor do integrando no limite superior (multiplicada pela velocidade com que o limite sobe) menos a variação do integrando no limite inferior (multiplicada pela velocidade com que o limite desce). Para aplicar isso precisamos também do “chain rule” (regra da cadeia) para derivar a(x) e b(x).

Passo 3

Identificamos as peças da fórmula:
  • g(t)=\cos\bigl(t^{3}\bigr).
  • b(x)=x^{4}, então vamos precisar de b'(x).
  • a(x)=-\sin^{2}x, então vamos precisar de a'(x).
    Também vamos avaliar g nos limites:
g\bigl(b(x)\bigr)=\cos\bigl((x^{4})^{3}\bigr)=\cos\bigl(x^{12}\bigr).
g\bigl(a(x)\bigr)=\cos\bigl((-\sin^{2}x)^{3}\bigr)=\cos\bigl(-\sin^{6}x\bigr).
Observação útil: a função cosseno é par, ou seja \cos(-u)=\cos(u). Portanto
\cos\bigl(-\sin^{6}x\bigr)=\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr).

Passo 4

Calcular as derivadas dos limites (usando regra da cadeia quando necessário).
Derivada do limite superior:
b'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.
Derivada do limite inferior:
a(x)=-\sin^{2}x=-\bigl(\sin x\bigr)^{2}.
Aplicando a regra da cadeia (derivada de u^{2} é 2u\cdot u'):
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}x\bigr)=2\sin x\cdot\cos x,
portanto
a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\sin^{2}x\bigr)=-2\sin x\cos x.
Lembrete de identidade trigonométrica útil:
2\sin x\cos x=\sin(2x).

Passo 5

Aplicando a fórmula de Leibniz:
f'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Substituindo os valores que já calculamos:
f'(x)=\cos\bigl(x^{12}\bigr)\cdot 4x^{3}-\cos\bigl(-\sin^{6}x\bigr)\cdot\bigl(-2\sin x\cos x\bigr).
Usando \cos(-\sin^{6}x)=\cos(\sin^{6}x) e simplificando o sinal:
f'(x)=4x^{3}\cos\bigl(x^{12}\bigr)+2\sin x\cos x\;\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr).
Podemos ainda usar \;2\sin x\cos x=\sin(2x) para uma forma mais compacta:
f'(x)=4x^{3}\cos\bigl(x^{12}\bigr)+\sin(2x)\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\cos\bigl(x^{12}\bigr)+\sin(2x)\cos\bigl(\sin^{6}x\bigr)

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