Encontre os valores máximo e mínimo de:
sujeito às restrições
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob as duas restrições
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A primeira restrição é linear:
.\ - A segunda restrição fixa
e sobre um círculo de raio no plano : .\ - Queremos os extremos (máximo e mínimo) de
considerando essas duas equações simultaneamente.
Passo 2
Primeira simplificação útil: eliminar
usando a restrição linear. Da restrição
segue
Explico: isso é só isolar a variável
em função de
e
, para reduzir o número de variáveis na função objetivo.
Passo 3
Substituo
em
:
Vou manipular essa expressão para simplificar usando a outra restrição. Explicando passo a passo:
Somando
e
já presentes em
dá
Mas vamos usar a restrição
para simplificar muito: como
, substituo essa soma por
.
Passo 4
Usando
na expressão original de
antes de expandir, é mais direto observar:
pois
. Como
, obtemos
Ou seja, sobre o círculo
basta estudar a função de uma variável (ao parametrizar o círculo)
e então
.
Passo 5
Parametrização do círculo
: é muito prático usar trigonometria. Tomo
com
. Esta parametrização percorre todo o círculo. Então
e, como já escrevemos,
Agora o problema virou achar máximos e mínimos de
em
.
Passo 6
Simplificar a expressão
com uma identidade trigonométrica conhecida:
Explicando: essa fórmula vem de escrever
como
e achar
e
. Assim
Portanto
Passo 7
Análise dos extremos: a função
é crescente em
, então para achar extremos de
precisamos conhecer os valores extremos possíveis de
, que variam no intervalo
.
- O mínimo possível de
é . - O máximo possível de
é .
Assim, os valores extremos de
ocorrem em
e
.
Passo 8
Calcular o mínimo de
:
- Se
, então
Mas note que podemos conseguir um valor ainda menor de
se
. Vamos verificar se isso ocorre: queremos
Isso é possível porque
. De fato
tem soluções, por exemplo
ou
. Essas soluções correspondem a
-
, que dá ; -
, que dá .
Nesses casos
, então
e
Portanto o menor valor possível de
é
, atingido nos pontos
e
.
Passo 9
Calcular o máximo de
:
- O valor mínimo de
é . Substituindo nesse caso:
Então o quadrado é
. Logo
Faço a expansão:
portanto
Agora achar os
correspondentes: quando
temos
(ou equivalente), e então
Da restrição linear
vem
Verificação rápida:
e
. Portanto o máximo é atingido no ponto
.
Passo 10
Resumo dos resultados obtidos e interpretação final:
- O menor valor de
é , atingido em e . - O maior valor de
é , atingido em .
Resposta
Máximo:
, atingido em
.
Mínimo: , atingido em
e
.
Mínimo: