Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeito às restrições x+y+z=1 e x^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sob as duas restrições
x+y+z=1
e
x^{2}+z^{2}=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A primeira restrição é linear: \;x+y+z=1.\
  • A segunda restrição fixa x e z sobre um círculo de raio 1 no plano xz: \;x^{2}+z^{2}=1.\
  • Queremos os extremos (máximo e mínimo) de f considerando essas duas equações simultaneamente.

Passo 2

Primeira simplificação útil: eliminar y usando a restrição linear. Da restrição x+y+z=1 segue
y=1-x-z.
Explico: isso é só isolar a variável y em função de x e z, para reduzir o número de variáveis na função objetivo.

Passo 3

Substituo y em f:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+(1-x-z)^{2}+z^{2}.
Vou manipular essa expressão para simplificar usando a outra restrição. Explicando passo a passo:
(1-x-z)^{2}=1-2x-2z+x^{2}+2xz+z^{2}.
Somando x^{2} e z^{2} já presentes em f
f(x,z)=x^{2}+z^{2}+1-2x-2z+x^{2}+2xz+z^{2}=1-2x-2z+2x^{2}+2z^{2}+2xz.
Mas vamos usar a restrição x^{2}+z^{2}=1 para simplificar muito: como x^{2}+z^{2}=1, substituo essa soma por 1.

Passo 4

Usando x^{2}+z^{2}=1 na expressão original de f antes de expandir, é mais direto observar:
f(x,y,z)=x^{2}+z^{2}+y^{2}=1+y^{2},
pois x^{2}+z^{2}=1. Como y=1-x-z, obtemos
f(x,z)=1+(1-x-z)^{2}.
Ou seja, sobre o círculo x^{2}+z^{2}=1 basta estudar a função de uma variável (ao parametrizar o círculo) \;g(x,z)=(1-x-z)^{2} e então f=1+g.

Passo 5

Parametrização do círculo x^{2}+z^{2}=1: é muito prático usar trigonometria. Tomo
x=\cos t,\qquad z=\sin t,
com t\in\mathbb{R}. Esta parametrização percorre todo o círculo. Então
y=1-x-z=1-\cos t-\sin t,
e, como já escrevemos,
f(t)=1+(1-\cos t-\sin t)^{2}.
Agora o problema virou achar máximos e mínimos de f(t) em t.

Passo 6

Simplificar a expressão \cos t+\sin t com uma identidade trigonométrica conhecida:
\cos t+\sin t=\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right).
Explicando: essa fórmula vem de escrever \cos t+\sin t como R\sin(t+\varphi) e achar R=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} e \varphi=\pi/4. Assim
1-\cos t-\sin t=1-\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right).
Portanto
f(t)=1+\bigl(1-\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)^{2}.

Passo 7

Análise dos extremos: a função s\mapsto(1-\sqrt{2}\,s)^{2} é crescente em |1-\sqrt{2}s|, então para achar extremos de f(t) precisamos conhecer os valores extremos possíveis de \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right), que variam no intervalo [-1,1].
  • O mínimo possível de \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right) é -1.
  • O máximo possível de \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right) é 1.
Assim, os valores extremos de 1-\sqrt{2}\,\sin(\cdot) ocorrem em \sin(\cdot)=1 e \sin(\cdot)=-1.

Passo 8

Calcular o mínimo de f:
  • Se \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=1, então
1-\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=1-\sqrt{2}.
Mas note que podemos conseguir um valor ainda menor de (1-\sqrt{2}\,s)^{2} se 1-\sqrt{2}\,s=0. Vamos verificar se isso ocorre: queremos
1-\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isso é possível porque \frac{1}{\sqrt{2}}\in[-1,1]. De fato \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}} tem soluções, por exemplo t+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4} ou t+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}. Essas soluções correspondem a
  • t=0, que dá (x,z)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0);
  • t=\tfrac{\pi}{2}, que dá (x,z)=(\cos\tfrac{\pi}{2},\sin\tfrac{\pi}{2})=(0,1).
Nesses casos 1-\cos t-\sin t=0, então y=0 e
f=1+0^{2}=1.
Portanto o menor valor possível de f é \;f_{\min}=1, atingido nos pontos (x,y,z)=(1,0,0) e (0,0,1).

Passo 9

Calcular o máximo de f:
  • O valor mínimo de \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right) é -1. Substituindo nesse caso:
1-\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=1-\sqrt{2}(-1)=1+\sqrt{2}.
Então o quadrado é (1+\sqrt{2})^{2}. Logo
f_{\max}=1+(1+\sqrt{2})^{2}.
Faço a expansão:
(1+\sqrt{2})^{2}=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2},
portanto
f_{\max}=1+(3+2\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}.
Agora achar os x,y,z correspondentes: quando \sin\!\left(t+\tfrac{\pi}{4}\right)=-1 temos t=-\tfrac{3\pi}{4} (ou equivalente), e então
x=\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad z=\sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Da restrição linear y=1-x-z vem
y=1-2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+\sqrt{2}.
Verificação rápida: x^{2}+z^{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1 e x+y+z= -\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\sqrt{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=1. Portanto o máximo é atingido no ponto
\displaystyle\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,1+\sqrt{2},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr).

Passo 10

Resumo dos resultados obtidos e interpretação final:
  • O menor valor de f é \;1, atingido em (1,0,0) e (0,0,1).
  • O maior valor de f é \;4+2\sqrt{2}, atingido em \displaystyle\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,1+\sqrt{2},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr).

Resposta

Máximo: f_{\max}=4+2\sqrt{2}, atingido em \displaystyle\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,1+\sqrt{2},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Mínimo: f_{\min}=1, atingido em (1,0,0) e (0,0,1).

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