Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
f(x, y)=x^{2}-x y-y^{2} na região limitada por y=5-2 x e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os mínimos e máximos absolutos da função f(x,y)=x^{2}-x y-y^{2} na região limitada por y=5-2x e o eixo x.
Informações dadas e interpretação da região (peguei os pontos de interseção com os eixos):
  • A reta y=5-2x intercepta o eixo x quando y=0. Resolviendo 0=5-2x obtém-se x=\tfrac{5}{2}. Logo o ponto de interseção é \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr).
  • A reta intercepta o eixo y quando x=0, dando o ponto (0,5).
  • O eixo x intercepta o eixo y no ponto (0,0).
Da frase “região limitada por y=5-2x e o eixo x” tomarei a interpretação padrão (região triangular fechada e limitada no primeiro quadrante) dada por
\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{5}{2},\; 0\le y\le 5-2x\},
isto é, o triângulo com vértices (0,0), \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr) e (0,5).
O que é pedido, então:
  • Identificar todos os pontos candidatos a extremos absolutos (pontos críticos no interior e pontos no contorno).
  • Avaliar f nesses pontos e concluir quais são o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função na região fechada.

Passo 2

Plano de resolução (por que este plano funciona):
  • Para funções contínuas em um conjunto compacto (fechado e limitado) os extremos absolutos existem (Teorema de Weierstrass). Por isso basta comparar os valores de f em:
    1. Pontos críticos no interior da região (onde o gradiente é nulo).
    2. Pontos do contorno (segmentos de reta e vértices); nos segmentos, reduzimos f a uma função de uma variável e procuramos extremos nessa função (ou simplesmente avaliamos nos extremos do segmento e em eventuais pontos críticos da função reduzida).
  • Vou calcular o gradiente, resolver \nabla f=0, verificar se esses pontos estão no interior, e depois analisar cada aresta do triângulo.
Antes de calcular, breve lembrete de conceito (aula rápida e simples):
  • O gradiente \nabla f(x,y) = \bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr). Pontos internos com \nabla f=0 são candidatos a extremos locais. Mas nesses problemas devemos também checar as fronteiras, porque extremos absolutos podem ocorrer lá.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (explicando o que cada símbolo significa):
  • [\tfrac{\partial f}{\partial x}) é a derivada de f em relação a x, tratando y como constante.
  • \tfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f em relação a y, tratando x como constante.
Derivando:
\tfrac{\partial f}{\partial x}=2x-y, \qquad \tfrac{\partial f}{\partial y}=-x-2y.
Resolver \nabla f=0:
\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] -x-2y=0. \end{cases}
Da primeira equação y=2x\]. Substituindo na segunda: \[-x-2(2x)= -x-4x = -5x =0 \quad\Rightarrow\quad x=0.\] Então \(x=0 e y=2x=0. O único ponto crítico é (0,0).
Verificação de interior: o interior do triângulo exige x>0 e y>0. O ponto (0,0) está na fronteira (é vértice), não no interior. Portanto não há pontos críticos no interior da região.
Conclusão deste passo: não há candidatos a extremos internos; devemos checar as arestas (fronteiras) e os vértices.]

Passo 4

Analisar a aresta x=0 (do vértice (0,0) ao vértice (0,5)).
Substituir x=0 na função:
f(0,y) = 0^{2} - 0\cdot y - y^{2} = -y^{2}.
Isto é uma parábola em y que abre para baixo? Na verdade -y^{2} abre para baixo (valor máximo em y=0) e é decrescente em magnitude para y afastando-se de zero.
No intervalo y\in[0,5]:
  • Em y=0: f(0,0)=0.
  • Em y=5: f(0,5)=-(5)^{2}=-25.
Portanto, ao longo de x=0 o máximo é 0 em (0,0) e o mínimo é -25 em (0,5).

Passo 5

Analisar a aresta y=0 (do vértice (0,0) ao vértice \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr)).
Substituir y=0 na função:
f(x,0) = x^{2}-x\cdot 0 - 0^{2} = x^{2}.
No intervalo x\in[0,\tfrac{5}{2}]:
  • f é uma parábola que cresce com |x|; sobre x\ge0 ela é crescente.
  • Em x=0: f(0,0)=0.
  • Em x=\tfrac{5}{2}: f\bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}=6{,}25.
Portanto, ao longo de y=0 o mínimo é 0 em (0,0) e o máximo é \tfrac{25}{4} em \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr).

Passo 6

Analisar a aresta dada pela reta y=5-2x (do vértice \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr) ao vértice (0,5)), com x\in[0,\tfrac{5}{2}].
Substituir y=5-2x em f:
f\bigl(x,5-2x\bigr)=x^{2}-x(5-2x)-(5-2x)^{2}.
Agora desenvolver passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro -x(5-2x) = -5x +2x^{2}.
  • Segundo (5-2x)^{2} = 25 -20x +4x^{2}.
    Então
f\bigl(x,5-2x\bigr)=x^{2} +(-5x+2x^{2}) - (25-20x+4x^{2}).
Agrupando termos por potências de x:
f\bigl(x,5-2x\bigr)=\bigl( x^{2}+2x^{2}-4x^{2}\bigr) +\bigl(-5x+20x\bigr) +(-25).
Calcule cada grupo:
x^{2}+2x^{2}-4x^{2} = -x^{2}, \qquad -5x+20x = 15x.
Portanto
f\bigl(x,5-2x\bigr) = -x^{2} +15x -25.
Isto é uma parábola em x com coeficiente de x^{2} negativo (abre para baixo). O vértice desta parábola ocorre em
x_{\text{v}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{15}{2(-1)} = \frac{15}{2}=7{,}5.
Mas esse x_{\text{v}}=7{,}5 está fora do intervalo x\in[0,\tfrac{5}{2}] (pois \tfrac{5}{2}=2{,}5). Logo, no intervalo considerado a função é monótona em sentido tal que os extremos na aresta ocorrem nas extremidades do segmento (os vértices do triângulo).
Avaliar nas extremidades:
  • Em x=0 (que corresponde a (0,5)):
f(0,5) = -0 +0 -25 = -25.
  • Em x=\tfrac{5}{2} (que corresponde a \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr)):
f\bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr) = -\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +15\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) -25.
Calcule passo a passo:
-\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} = -\tfrac{25}{4},\qquad 15\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{75}{2}=\tfrac{150}{4}.
Somando:
-\tfrac{25}{4} + \tfrac{150}{4} - \tfrac{100}{4} = \tfrac{25}{4}.
(Observação: -25 = -\tfrac{100}{4}.) Resultado \tfrac{25}{4}=6{,}25, que coincide com a avaliação feita na aresta y=0 naquele vértice.
Portanto nessa aresta os valores extremos são -25 em (0,5) e \tfrac{25}{4} em \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr).

Passo 7

Reunir todos os candidatos (vértices e pontos críticos sobre as fronteiras) e comparar os valores de f:
  • (0,0): f(0,0)=0.
  • (0,5): f(0,5)=-25.
  • \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr): f\bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr)=\tfrac{25}{4}=6{,}25.
Não existem outros pontos críticos no interior. Nas arestas vimos que os extremos ocorrem nos vértices listados.
Comparando os valores:
  • O maior valor entre \{0,-25,\tfrac{25}{4}\} é \tfrac{25}{4}.
  • O menor valor é -25.
Conclusão: máximo absoluto é \tfrac{25}{4} no ponto \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr); mínimo absoluto é -25 no ponto (0,5).

Resposta

Máximo absoluto: f\bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr)=\tfrac{25}{4}.
Mínimo absoluto: f(0,5)=-25.

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