Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
na região limitada por
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os mínimos e máximos absolutos da função
na região limitada por
e o eixo
.
Informações dadas e interpretação da região (peguei os pontos de interseção com os eixos):
- A reta
intercepta o eixo quando . Resolviendo obtém-se . Logo o ponto de interseção é . - A reta intercepta o eixo
quando , dando o ponto . - O eixo
intercepta o eixo no ponto .
Da frase “região limitada por
e o eixo
” tomarei a interpretação padrão (região triangular fechada e limitada no primeiro quadrante) dada por
isto é, o triângulo com vértices
,
e
.
O que é pedido, então:
- Identificar todos os pontos candidatos a extremos absolutos (pontos críticos no interior e pontos no contorno).
- Avaliar
nesses pontos e concluir quais são o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função na região fechada.
Passo 2
Plano de resolução (por que este plano funciona):
- Para funções contínuas em um conjunto compacto (fechado e limitado) os extremos absolutos existem (Teorema de Weierstrass). Por isso basta comparar os valores de
em: - Pontos críticos no interior da região (onde o gradiente é nulo).
- Pontos do contorno (segmentos de reta e vértices); nos segmentos, reduzimos
a uma função de uma variável e procuramos extremos nessa função (ou simplesmente avaliamos nos extremos do segmento e em eventuais pontos críticos da função reduzida).
- Vou calcular o gradiente, resolver
, verificar se esses pontos estão no interior, e depois analisar cada aresta do triângulo.
Antes de calcular, breve lembrete de conceito (aula rápida e simples):
- O gradiente
. Pontos internos com são candidatos a extremos locais. Mas nesses problemas devemos também checar as fronteiras, porque extremos absolutos podem ocorrer lá.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (explicando o que cada símbolo significa):
- [\tfrac{\partial f}{\partial x}) é a derivada de
em relação a , tratando como constante. -
é a derivada de em relação a , tratando como constante.
Derivando:
Resolver
:
Da primeira equação
e
. O único ponto crítico é
.
Verificação de interior: o interior do triângulo exige
e
. O ponto
está na fronteira (é vértice), não no interior. Portanto não há pontos críticos no interior da região.
Conclusão deste passo: não há candidatos a extremos internos; devemos checar as arestas (fronteiras) e os vértices.]
Passo 4
Analisar a aresta
(do vértice
ao vértice
).
Substituir
na função:
Isto é uma parábola em
que abre para baixo? Na verdade
abre para baixo (valor máximo em
) e é decrescente em magnitude para
afastando-se de zero.
No intervalo
:
- Em
: . - Em
: .
Portanto, ao longo de
o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Passo 5
Analisar a aresta
(do vértice
ao vértice
).
Substituir
na função:
No intervalo
:
-
é uma parábola que cresce com ; sobre ela é crescente. - Em
: . - Em
: .
Portanto, ao longo de
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Analisar a aresta dada pela reta
(do vértice
ao vértice
), com
.
Substituir
em
:
Agora desenvolver passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro
. - Segundo
.
Então
Agrupando termos por potências de
:
Calcule cada grupo:
Portanto
Isto é uma parábola em
com coeficiente de
negativo (abre para baixo). O vértice desta parábola ocorre em
Mas esse
está fora do intervalo
(pois
). Logo, no intervalo considerado a função é monótona em sentido tal que os extremos na aresta ocorrem nas extremidades do segmento (os vértices do triângulo).
Avaliar nas extremidades:
- Em
(que corresponde a ):
- Em
(que corresponde a ):
Calcule passo a passo:
Somando:
(Observação:
.) Resultado
, que coincide com a avaliação feita na aresta
naquele vértice.
Portanto nessa aresta os valores extremos são
em
e
em
.
Passo 7
Reunir todos os candidatos (vértices e pontos críticos sobre as fronteiras) e comparar os valores de
:
-
: . -
: . -
: .
Não existem outros pontos críticos no interior. Nas arestas vimos que os extremos ocorrem nos vértices listados.
Comparando os valores:
- O maior valor entre
é . - O menor valor é
.
Conclusão: máximo absoluto é
no ponto
; mínimo absoluto é
no ponto
.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Mínimo absoluto: