Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas até a ordem
para a função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar saber como derivar logaritmos e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve quando temos uma função composta, tipo
onde
. A derivada da função ln(u) é
multiplicada pela derivada de
.
Então:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada de
. Para isso, podemos reescrever
como
e aplicar a regra do poder, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Resposta
As derivadas sucessivas até a ordem
para
são: