Mostre que os limites abaixo não existem.
$(b) b

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai explorar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e ver se o limite resulta no mesmo valor em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para limites de funções de duas variáveis, se ao se aproximar de um ponto por caminhos diferentes a gente obtiver limites diferentes, então o limite geral não existe. Ou seja, se a gente encontrar pelo menos dois caminhos que dão valores diferentes para o limite, já podemos concluir que ele não existe.

Passo 3

Vamos escolher o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Agora, ao fazer , vemos que o limite depende do valor de . Isso significa que diferentes valores de vão gerar limites diferentes.

Passo 4

Para confirmar, vamos tentar dois valores específicos de :
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Como encontramos dois caminhos que dão limites diferentes ( e ), concluímos que o limite geral não existe. Isso acontece porque a função não se aproxima do mesmo valor de todas as direções quando se aproxima de .

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em limites distintos.

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