Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea
3y''+2y'+y=0.
Informações dadas: é uma EDO de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes; a incógnita é y função de x. O objetivo é encontrar a família de soluções gerais (com duas constantes arbitrárias, porque é segunda ordem).

Passo 2

Ideia padrão (explicação didática do porquê): para EDOs lineares com coeficientes constantes costuma-se testar uma solução da forma exponencial \;y=e^{rx}\;, porque a derivada de uma exponencial é a mesma exponencial multiplicada por uma constante, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r. Aqui r pode ser complexo, tudo bem — depois tratamos isso para obter soluções reais.
Calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2}e^{rx}.
Substituindo na EDO:
3(r^{2}e^{rx}) + 2(r e^{rx}) + 1\cdot e^{rx} = 0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
3r^{2}+2r+1=0.

Passo 3

Agora resolvemos a quadrática \;3r^{2}+2r+1=0\;. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}.
Calcule o discriminante:
\Delta = 2^{2}-4\cdot3\cdot1 = 4-12 = -8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Continue o cálculo:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{-2\pm 2i\sqrt{2}}{6}=-\frac{1}{3}\pm i\frac{\sqrt{2}}{3}.
Chamando a=-\dfrac{1}{3} e b=\dfrac{\sqrt{2}}{3}, as raízes são r=a\pm ib.

Passo 4

O que significa ter raízes complexas conjugadas a\pm ib? Explico passo a passo: para cada raiz complexa temos uma solução exponencial complexa \;y=e^{(a+ib)x}\;. Usando a fórmula de Euler,
e^{(a+ib)x}=e^{ax}e^{ibx}=e^{ax}\big(\cos(bx)+i\sin(bx)\big).
Como a EDO tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de e^{(a+ib)x} são soluções reais independentes. Essas duas soluções reais são
e^{ax}\cos(bx)\quad\text{e}\quad e^{ax}\sin(bx).
Portanto a solução geral real é uma combinação linear dessas duas soluções, com constantes reais arbitrárias.

Passo 5

Aplicando isso aos valores de a e b encontrados ( a=-\dfrac{1}{3}, b=\dfrac{\sqrt{2}}{3}), obtemos a solução geral:
y(x)=e^{-x/3}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (esses dois graus de liberdade aparecem porque a EDO é de segunda ordem).

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo o procedimento que você pode usar rapidamente):
  1. Teste y=e^{rx}, calcule y',y'' e forme a equação característica.
  2. Resolva a quadrática: se \Delta>0 tem duas raízes reais distintas; se \Delta=0 tem raiz real dupla; se \Delta<0 tem conjugadas complexas a\pm ib.
  3. Para raízes complexas use y=e^{ax}(C_{1}\cos bx + C_{2}\sin bx).
    Isso dá uma maneira direta e repetível de resolver esse tipo de EDO.

Resposta

y(x)=e^{-x/3}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)\Big)

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