Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea
Informações dadas: é uma EDO de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes; a incógnita é
função de
. O objetivo é encontrar a família de soluções gerais (com duas constantes arbitrárias, porque é segunda ordem).
Passo 2
Ideia padrão (explicação didática do porquê): para EDOs lineares com coeficientes constantes costuma-se testar uma solução da forma exponencial
, porque a derivada de uma exponencial é a mesma exponencial multiplicada por uma constante, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Aqui
pode ser complexo, tudo bem — depois tratamos isso para obter soluções reais.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na EDO:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora resolvemos a quadrática
. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Continue o cálculo:
Chamando
e
, as raízes são
.
Passo 4
O que significa ter raízes complexas conjugadas
? Explico passo a passo: para cada raiz complexa temos uma solução exponencial complexa
. Usando a fórmula de Euler,
Como a EDO tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de
são soluções reais independentes. Essas duas soluções reais são
Portanto a solução geral real é uma combinação linear dessas duas soluções, com constantes reais arbitrárias.
Passo 5
Aplicando isso aos valores de
e
encontrados (
,
), obtemos a solução geral:
onde
e
são constantes reais arbitrárias (esses dois graus de liberdade aparecem porque a EDO é de segunda ordem).
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento que você pode usar rapidamente):
- Teste
, calcule e forme a equação característica. - Resolva a quadrática: se
tem duas raízes reais distintas; se tem raiz real dupla; se tem conjugadas complexas . - Para raízes complexas use
.
Isso dá uma maneira direta e repetível de resolver esse tipo de EDO.