Nos exercícios 15 a 21 resolva as equações, usando o método dos coeficentes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (não-homogêneo) é a soma de uma constante
e de uma exponencial . - Precisamos encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso montamos a equação característica substituindo
:
Calculemos o discriminante:
. Como
, temos raiz real dupla:
Quando a raiz
tem multiplicidade
, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa. Vou explicar a ideia do método dos coeficientes indeterminados (aula rápida):
- Se o lado direito é soma de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tentamos uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos.
- Se a função de teste coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplicamos o palpite por
, onde é o menor inteiro positivo necessário para remover a coincidência (normalmente igual à multiplicidade da raiz correspondente na equação característica).
No nosso caso o lado direito é: um termo constante e uma exponencial . Haverá ressonância com porque é raiz dupla da característica, então precisaremos multiplicar o palpite para o termo exponencial por .
Passo 4
Tratemos o termo constante
. O palpite para uma constante é uma constante:
com
desconhecido. Como
e
, ao substituir na equação obtemos
Logo
Portanto uma contribuição particular é
.
Passo 5
Agora tratemos o termo
. Se tentássemos
haveria ressonância porque
e
já estão na solução homogênea (raiz dupla). Assim multiplicamos por
e escolhemos o palpite
onde
é constante a determinar. Explico: a multiplicidade da raiz
é
, então usamos
vezes a exponencial.
Passo 6
Calculemos
e
passo a passo. Primeiro escrevo uma parte auxiliar:
defina (isto aparece ao derivar
). Agora derive diretamente:
defina
Começando de
,
Agora derivamos isso para achar
. Usamos a regra do produto: derivada de
é
, e derivada de
é
. Assim
Colocando em fator comum
e simplificando dentro do parêntese:
Somando termos semelhantes:
Passo 7
Agora aplicamos o operador linear
em
. Substituindo as expressões encontradas:
Colocando
em evidência e combinando os termos de
,
e constantes:
Observe que os coeficientes de
somam zero (
) e os termos em
também somam zero. Sobra apenas a constante
:
Como queremos que a contribuição de
reproduza o termo
do lado direito, igualamos
Isso dá
, ou seja
Passo 8
Portanto a solução particular total é a soma das contribuições dos dois termos:
A solução geral da equação, somando homogênea e particular, é
Podemos também agrupar os termos com
se preferir: