Nos exercícios 15 a 21 resolva as equações, usando o método dos coeficentes indeterminados.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=3+e^{x / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'+\frac{1}{4}y=3+e^{x/2}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (não-homogêneo) é a soma de uma constante 3 e de uma exponencial e^{x/2}.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
y''-y'+\frac{1}{4}y=0.
Para isso montamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^2-r+\frac{1}{4}=0.
Calculemos o discriminante: \Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot\frac{1}{4}=1-1=0. Como \Delta=0, temos raiz real dupla:
r=\frac{1}{2}.
Quando a raiz r tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h=(C_1+C_2 x)e^{x/2},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p da equação completa. Vou explicar a ideia do método dos coeficientes indeterminados (aula rápida):
  • Se o lado direito é soma de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tentamos uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos.
  • Se a função de teste coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplicamos o palpite por x^s, onde s é o menor inteiro positivo necessário para remover a coincidência (normalmente igual à multiplicidade da raiz correspondente na equação característica).
    No nosso caso o lado direito é 3+e^{x/2}: um termo constante e uma exponencial e^{x/2}. Haverá ressonância com e^{x/2} porque r=1/2 é raiz dupla da característica, então precisaremos multiplicar o palpite para o termo exponencial por x^2.

Passo 4

Tratemos o termo constante 3. O palpite para uma constante é uma constante:
y_{p1}=A,
com A desconhecido. Como y_{p1}'=0 e y_{p1}''=0, ao substituir na equação obtemos
0-0+\frac{1}{4}A=3.
Logo
\frac{1}{4}A=3\quad\Rightarrow\quad A=12.
Portanto uma contribuição particular é y_{p1}=12.

Passo 5

Agora tratemos o termo e^{x/2}. Se tentássemos B e^{x/2} haveria ressonância porque e^{x/2} e x e^{x/2} já estão na solução homogênea (raiz dupla). Assim multiplicamos por x^2 e escolhemos o palpite
y_{p2}=B x^2 e^{x/2},
onde B é constante a determinar. Explico: a multiplicidade da raiz r=1/2 é 2, então usamos x^2 vezes a exponencial.

Passo 6

Calculemos y_{p2}' e y_{p2}'' passo a passo. Primeiro escrevo uma parte auxiliar:
defina u(x)=2x+\frac{x^2}{2} (isto aparece ao derivar x^2 e^{x/2}). Agora derive diretamente:
Começando de y_{p2}=B x^2 e^{x/2},
y_{p2}'=B\left(2x e^{x/2}+x^2\cdot\frac{1}{2}e^{x/2}\right) = B e^{x/2}\left(2x+\frac{x^2}{2}\right).
Agora derivamos isso para achar y_{p2}''. Usamos a regra do produto: derivada de e^{x/2} é \tfrac{1}{2}e^{x/2}, e derivada de 2x+\tfrac{x^2}{2} é 2+x. Assim
y_{p2}''=B\left(\frac{1}{2}e^{x/2}\left(2x+\frac{x^2}{2}\right)+e^{x/2}(2+x)\right).
Colocando em fator comum B e^{x/2} e simplificando dentro do parêntese:
y_{p2}''=B e^{x/2}\!\left(\frac{1}{2}\!\left(2x+\frac{x^2}{2}\right)+(2+x)\right) = B e^{x/2}\!\left(x+\frac{x^2}{4}+2+x\right).
Somando termos semelhantes:
y_{p2}''=B e^{x/2}\left(\frac{x^2}{4}+2x+2\right).

Passo 7

Agora aplicamos o operador linear L[y]=y''-y'+\tfrac{1}{4}y em y_{p2}. Substituindo as expressões encontradas:
L[y_{p2}] = B e^{x/2}\left(\frac{x^2}{4}+2x+2\right) - B e^{x/2}\left(2x+\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{4}B x^2 e^{x/2}.
Colocando B e^{x/2} em evidência e combinando os termos de x^2, x e constantes:
L[y_{p2}]=B e^{x/2}\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4} \;+\;2x-2x\;+\;2\right).
Observe que os coeficientes de x^2 somam zero ( \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=0) e os termos em x também somam zero. Sobra apenas a constante 2:
L[y_{p2}]=B e^{x/2}\cdot 2 = 2B e^{x/2}.
Como queremos que a contribuição de y_{p2} reproduza o termo e^{x/2} do lado direito, igualamos
2B e^{x/2}=e^{x/2}.
Isso dá 2B=1, ou seja
B=\frac{1}{2}.

Passo 8

Portanto a solução particular total é a soma das contribuições dos dois termos:
y_p=y_{p1}+y_{p2}=12+\frac{1}{2}x^2 e^{x/2}.
A solução geral da equação, somando homogênea e particular, é
y(x)=(C_1+C_2 x)e^{x/2}+12+\frac{1}{2}x^2 e^{x/2}.
Podemos também agrupar os termos com e^{x/2} se preferir:
y(x)=\left(C_1+C_2 x+\frac{1}{2}x^2\right)e^{x/2}+12.

Resposta

y(x)=\left(C_1+C_2 x+\frac{1}{2}x^2\right)e^{x/2}+12

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