Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 4y' + 5y = 0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que temos: a equação é de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes 1 (para y''), -4 (para y') e 5 (para y). O objetivo é encontrar a família de todas as soluções reais dessa equação.

Passo 2

Como o enunciado não exige um método específico, escolhemos o método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma exponencial y=e^{rx}. Vou explicar por que essa escolha é natural: a derivada de uma função exponencial é proporcional à própria função, então ao substituir y=e^{rx} na equação diferencial transformamos a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica (chamada equação característica) é mais simples de resolver e nos dá as possíveis “taxas de crescimento/decrescimento” das soluções.

Passo 3

Proponho y=e^{rx}. Calculemos as derivadas necessárias:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} - 4 (r e^{rx}) + 5 (e^{rx}) = 0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação algébrica
r^{2} - 4r + 5 = 0.
Essa é a chamada equação característica; suas raízes r determinam as formas das soluções.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
r^{2} - 4r + 5 = 0.
Use a fórmula quadrática r = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1, b=-4, c=5. Primeiro calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2} - 4\cdot 1\cdot 5 = 16 - 20 = -4.
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas. Calculando:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i.
Então as duas raízes são r_{1}=2+i e r_{2}=2-i.

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq 0), a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Por que isso? Usando a identidade de Euler,
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\big),
as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} são e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Essas duas funções reais são soluções linearly independentes da equação diferencial, então sua combinação linear com constantes reais dá a solução geral real.
No nosso caso temos \alpha=2 e \beta=1. Portanto as duas soluções independentes reais podem ser tomadas como
y_{1}(x)=e^{2x}\cos x,\qquad y_{2}(x)=e^{2x}\sin x,
e a solução geral é a combinação linear dessas:
y(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais determinadas por condições iniciais, se houver.

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)

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