Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes que temos: a equação é de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes
(para
),
(para
) e
(para
). O objetivo é encontrar a família de todas as soluções reais dessa equação.
Passo 2
Como o enunciado não exige um método específico, escolhemos o método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma exponencial
. Vou explicar por que essa escolha é natural: a derivada de uma função exponencial é proporcional à própria função, então ao substituir
na equação diferencial transformamos a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica (chamada equação característica) é mais simples de resolver e nos dá as possíveis “taxas de crescimento/decrescimento” das soluções.
Passo 3
Proponho
. Calculemos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação algébrica
Essa é a chamada equação característica; suas raízes
determinam as formas das soluções.
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
Use a fórmula quadrática
com
,
,
. Primeiro calcule o discriminante:
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas. Calculando:
Então as duas raízes são
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(com
reais e
), a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Por que isso? Usando a identidade de Euler,
as partes real e imaginária de
são
e
. Essas duas funções reais são soluções linearly independentes da equação diferencial, então sua combinação linear com constantes reais dá a solução geral real.
No nosso caso temos
e
. Portanto as duas soluções independentes reais podem ser tomadas como
e a solução geral é a combinação linear dessas:
onde
e
são constantes reais determinadas por condições iniciais, se houver.